▪Ανισότητες: 203η - 204η - 205η

1) Έστω $x,y,z$ πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx\geqΑ$

όπου

$Α=\max\{\frac{3(x-y)^{2}}{4},\frac{3(y-z)^{2}}{4},\frac{3(y-z)^{2}}{4}\}$.

2) Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.

Να αποδειχθεί ότι

$\frac{a^{5}+b^{5}}{ab(a+b)}+\frac{b^{5}+c^{5}}{bc(b+c)}+\frac{c^{5}+a^{5}}{ca(c+a)}\geq 3(ab+bc+ca)-2$.

3) Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι

$\left(1+\frac{4a}{b+c}\right)\left(1+\frac{4b}{a+c}\right)\left(1+\frac{4c}{a+b}\right) > 25$.

Bosnia Herzegovina Regional Olympiad 2008

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com