▪Ανισότητες: 203η - 204η - 205η

1) Έστω $x,y,z$ πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι

$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\ge {\rm A}$

όπου

${\rm A}=max\{\frac{3(x-y{)}^2}{4},\frac{3(y-z{)}^2}{4},\frac{3(y-z{)}^2}{4}\}$.

2) Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε

$a^2+b^2+c^2=1$.

Να αποδειχθεί ότι

$\frac{a^5+b^5}{ab(a+b)}+\frac{b^5+c^5}{bc(b+c)}+\frac{c^5+a^5}{ca(c+a)}\ge 3(ab+bc+ca)-2$.

3) Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι

$(1+\frac{4a}{b+c})(1+\frac{4b}{a+c})(1+\frac{4c}{a+b})>25$.

Bosnia Herzegovina Regional Olympiad 2008

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com