▪ Κατασκευή κανονικού πολυγώνου και αριθμοί Fermat

Η διαίρεση ενός κύκλου σε $\nu$ ίσα τόξα με τον κανόνα και το διαβήτη δεν είναι δυνατή για οποιαδήποτε τιμή του φυσικού αριθμού $\nu$. Για παράδειγμα, δεν είναι δυνατή η διαίρεση ενός κύκλου σε επτά ίσα τόξα, το οποίο σημαίνει ότι δεν κατασκευάζεται κανονικό $7$-γωνο. Από τον τρόπο κατασκευής των κανονικών πολυγώνων (με κανόνα και διαβήτη) που αναπτύσσεται στα στοιχεία του Ευκλείδη, προκύπτει ότι οι αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί κατασκεύαζαν κανονικά πολύγωνα με πλήθος πλευρών $2\nu$, $\nu \ge 2$, $2\nu \cdot 3$, $2\nu \cdot 5$, $2\nu \cdot 3\cdot 5$, όπου $\nu =0,1,2,...$ 

Ο Αρχιμήδης (287π.Χ. περίπου - 212π.Χ.) ασχολήθηκε με το πρόβλημα της κατασκευής κανονικού πολυγώνου και παρουσίασε ένα θαυμάσιο έργο με θέμα την κατασκευή του κανονικού $7$-γώνου. Αρκετά αργότερα, το 1796, ο Gauss (1777 - 1855) με αφορμή την κατασκευή κανονικού $17$-γώνου απέδειξε ότι ένα κανονικό πολύγωνο μπορεί να κατασκευαστεί, όταν το πλήθος $\nu$ των πλευρών του είναι της μορφής $\nu =2^{\alpha }{{\rm P}}_1\cdot {{\rm P}}_2....\cdot {\rm P}$, όπου α φυσικός αριθμός και ${{\rm P}}_1,{{\rm P}}_2,...,{{\rm P}}_{\kappa }$ πρώτοι αριθμοί του Fermat, δηλαδή της μορφής $P_{\lambda }=2^{2^{\lambda }}+1$, $\lambda =1,2,...,\kappa$.
Από το σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας της Β' Λυκείου.