▪ Κατασκευή κανονικού πολυγώνου και αριθμοί Fermat

Η διαίρεση ενός κύκλου σε $ν$ ίσα τόξα με τον κανόνα και το διαβήτη δεν είναι δυνατή για οποιαδήποτε τιμή του φυσικού αριθμού $ν$. Για παράδειγμα, δεν είναι δυνατή η διαίρεση ενός κύκλου σε επτά ίσα τόξα, το οποίο σημαίνει ότι δεν κατασκευάζεται κανονικό $7$-γωνο. Από τον τρόπο κατασκευής των κανονικών πολυγώνων (με κανόνα και διαβήτη) που αναπτύσσεται στα στοιχεία του Ευκλείδη, προκύπτει ότι οι αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί κατασκεύαζαν κανονικά πολύγωνα με πλήθος πλευρών $2ν$, $ν ≥ 2$, $2ν\cdot3$, $2ν\cdot5$, $2ν\cdot3\cdot5$, όπου $ν = 0, 1, 2, ...$ 

Ο Αρχιμήδης (287π.Χ. περίπου - 212π.Χ.) ασχολήθηκε με το πρόβλημα της κατασκευής κανονικού πολυγώνου και παρουσίασε ένα θαυμάσιο έργο με θέμα την κατασκευή του κανονικού $7$-γώνου. Αρκετά αργότερα, το 1796, ο Gauss (1777 - 1855) με αφορμή την κατασκευή κανονικού $17$-γώνου απέδειξε ότι ένα κανονικό πολύγωνο μπορεί να κατασκευαστεί, όταν το πλήθος $ν$ των πλευρών του είναι της μορφής $ν = 2^{α}Ρ_1\cdotΡ_2 . ... \cdotΡ$, όπου α φυσικός αριθμός και $Ρ_1, Ρ_2, ..., Ρ_κ$ πρώτοι αριθμοί του Fermat, δηλαδή της μορφής $P_λ = 2^{2^λ} + 1$, $λ = 1, 2, ... , κ$.
Από το σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας της Β' Λυκείου.