Κατά λάθος ένα εργοστάσιο ηλεκτρικών συσκευών έστειλε σε μια παραγγελία 6 ελαττωματικές τηλεοράσεις και 44 κανονικές/σωστές. Μια επιχείρηση αγόρασε (με εντελώς τυχαίο τρόπο, κανείς δεν γνώριζε περί ελαττωματικών) 5 τηλεοράσεις από την παρτίδα των 50.
α) Ποια είναι η πιθανότητα και οι 5 να είναι ελαττωματικές;
β) Ποια είναι η πιθανότητα, τουλάχιστον μία να είναι ελαττωματική;
γ) Ποια είναι η πιθανότητα, μία το πολύ να είναι ελαττωματική;
ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Αυτού του είδους τα προβλήματα είναι γνωστά και ως: "Υπέρ-γεωμετρική κατανομή"
ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Αυτού του είδους τα προβλήματα είναι γνωστά και ως: "Υπέρ-γεωμετρική κατανομή"
Ένας συνηθισμένος συμβολισμός είναι ο: C(n,k)
C(n, k) Επεξήγηση
-----------------------------
Ο συμβολισμός C(n, κ) εκφράζει τον αριθμό των συνδυασμών τάξης k
n αντικειμένων. Ή αλλιώς:
"Διωνυμικός συντελεστής τάξης nk" ή "n πάνω στο k"
Ο σχετικός τύπος είναι:
n! 10!
C(n, k) = -------- , έτσι : C(10, 4)= ----- =210
k!(n - k)! 4! 6!
Aπό τις 50 τηλεορ., οι 44 είναι εντάξει και οι 6 είναι ελαττωματικές.
Εξετάζεται ένα δείγμα από 5 στοιχεία.
C(6, 5) 6
α) Πιθ.(5 ελαττωματ.) = --------- = --------- = 0.0000028318
C(50, 5) 2118760
Στο β),
P(τουλάχιστον 1 ελαττωμ.) = 1 - P(καμία ελαττωματ.)
C(44, 5) 1086008
= 1 - --------- = 1 - ---------
C(50, 5) 2118760
= 0.48743
Στο γ),
C(44, 5) C(6, 1) x C(44, 4)
Θέλουμε : P(0) + P(1) = ---------- + ------------------
C(50, 5) C(50, 5)
= 0.896993
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήα) Και οι 5 ελαττωματικές έχουμε τομή 5 ενδεχομένων
ΑπάντησηΔιαγραφή(ανεξάρτητα)
P=(6/50)*(5/49)*(4/48)*(3/47)*(2/46)
β)Είναι η συμπληρωματική πιθανότητα του ενδεχομένου καμία να μην είναι ελαττωματική
Άρα p(kamia)=(44/50)*(43/49)*(42/48)*(41/47)*(40/46)=...
Kai η ζητούμενη είναι 1-p(kamia)
Για το γ) έχουμε 2 ενδεχόμενα ή μια ή καμία
ΑπάντησηΔιαγραφήΆρα Π=pkamia+pmia
Για την καμία ισχύει ότι έγραψα σε προηγούμενο σχόλιο
ενώ για την μία
Pmia=(5!)*(44*43*42*41)/(50*49*48*47*46)
Ο παρονομαστής δεν αλλάζει.Αλλάζει μόνο η σειρά της επιλογής της ελαττωματικής
Άρα Ρζητ=pkamia+pmia
Διορθώνω την (β)συμφωνώντας με τον "donaltios duckios"
ΑπάντησηΔιαγραφήΠβ(μία τουλάχιστον ελ/κή)=1-Π0=1-0,512568=0,487432 και φεύγει και η επιφύλαξη που είχα για την Πβ(πολύ μικρή)
Θέλω να κάνω μια διόρθωση στο γ)
ΑπάντησηΔιαγραφήΟ τύπος είναι
Pmia=5*(6*44*43*42*41)/(50*49*48*47*46)
Δεν αλλάζει κάτι σε οποιαδήποτε θέση αν εμφανιστεί το ελαττωματικό.Οι πιθανές θέσεις είναι 5
κρατήστε το για λίγο ακόμα κ. Ριζόπουλε, είναι ευκαιρία να αποκτήσω λίγη γνώση και λίγη εμπειρία στις πιθανότητες, ψάχνοντας την λύση του.
ΑπάντησηΔιαγραφήα) Ως αρχικά
ΑπάντησηΔιαγραφήΠ5ελατ=(6/50)*(5/49)*(4/48)*(3/47)*(2/46)=720/254251200=3/1059380=0,0000028
β) Ως διορθωμένο
Πμία τουλάχιστον=1-Π0
Π0=4/50*43/49*42/48*41/47*40/46=130320960/254251200=0,51257
επίσης Π0=Σ(44,5)/(50,5)={(44!/5!*39!)/(50!/5!45!)}=0,51257 =>
Πμία τουλάχιστον=1-0,512568=0,487432
γ) Η πιθανότητα να είναι μία το πολύ ελαττωματική, μου φαίνεται λογικό να ισούται με την πιθανότητα Π1+Π0
Μία ελαττωματική ισοδυναμεί με 4 καλές
Π1ελατ.=Π4καλές=Σ(44,4)*6/Σ(50,5)={(44!/4!*40!)*6}/(50!/5!*45!)=814506/2118760=0,38443
Συνεπώς Πμία το πολύ=0,51257+0,38443=0,9060
ΥΓ
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο Π0(καμία) από παραδρομή γράφτηκε Π0=4/50*43/49*42/48*41/47*40/46=0,51257
το σωστό είναι: Π0(καμία)=44/50*43/49*42/48*41/47*40/46=0,51257(ίδιο αποτέλεσμα)
Διορθώνω το αποτέλεσμα της πρόσθεσης στο (γ)
ΑπάντησηΔιαγραφήαπό "Συνεπώς Πμία το πολύ=0,51257+0,38443=0,9060"
σε Π (μία το πολύ)=0,51257+0,38443=0,896687(που είναι το σωστό αποτέλεσμα της πρόσθεσης).