Ο Γιώργος και ο Σωκράτης αποφασίζουν να βάλουν το εξής στοίχημα:
Θα βγάλουν τα πορτοφόλια τους, που μπορεί να περιέχουν ένα τυχαίο ποσό, και όποιος έχει περισσότερα χρήματα θα πρέπει να τα δώσει σ'αυτόν που έχει τα λιγότερα.
Ο Γιώργος σκέφτεται: "Αν έχω περισσότερα από τον Σωκράτη, αυτός θα κερδίσει μόνο ό,τι έχω στο πορτοφόλι μου, αλλά αν έχει αυτός περισσότερα, θα κερδίσω ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ απ'ό,τι έχω τώρα! Άρα το στοίχημα με συμφέρει! Έχω να κερδίσω ,με πιθανότητα 50-50 ,περισσότερα απ'ότι έχω να χάσω! "
Την ίδια λογική σκέψη ακριβώς, κάνει και ο Σωκράτης και αποφασίζει κι αυτός ότι το στοίχημα είναι ευνοϊκό γι'αυτόν.
Προκύπτει προφανώς ένα μαθηματικό/λογικό παράδοξο ,καθώς δεν μπορεί και οι δύο να έχουν δίκιο και το παιχνίδι να έχει αναμενόμενη τιμή (μαθηματική ελπίδα) θετική και για τους δύο. Τι πιστεύετε ότι ισχύει;
Θεωρώ ότι και για τους 2 οι πιθανότητα να έχουν μεγαλύτερο ή μικρότερο ποσό στο πορτοφόλι του ο ένας από τον άλλο είναι 50-50.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο κέρδος επίσης δεν είναι μεγαλύτερο αλλά είναι 50-50 πάλι αφού μιλάμε για τυχαία ποσά στο πορτοφόλι του καθενός.Άρα και οι 2 έπρε πε να το σκεφτούν με εύρος πιθανών ποσών για να εξάγουν συμπέρασμα για το κέρδος που μπορεί να έχουν.Ο Γιώργος(και ο Σωκράτης) με την παραπάνω φράση αναφέρονται σε ένα ενδεχόμενο
Όμως η πιθανή κατάταξη είναι 50-50 για οποιοδήποτε συνδυασμό ποσών και για τους 2.Δηλαδή το άθροισμα κερδών και απωλειών και για τους 2 είναι μηδενικό
Δηλαδή οι συμμετρικές πιθανότητες αλληλοαναιρούνται(π.χ. ποσό 100 στον Γιώργο και 50 στον Σωκράτη και ανάποδα)
Άρα το λάθος είναι η εξαγωγή του κέρδους μεταξύ των 2 ενδεχομένων για ένα συγκεκριμένο ποσό και όχι σαν άθροισμα κερδών -ζημιών για όλα τα ενδεχόμενα ποσά
1η περίπτωση Έστω ότι ο Γιώργος έχει με πιθανότητα 50% τα έχει λιγότερα χρήματα, ας πούμε Χ ποσό και ο Σωκράτης έχει περισσότερα, ας πούμε ΚΧ ποσό, Κ>1, ο Γιώργος θα κερδίσει ΚΧ χρήματα.
ΑπάντησηΔιαγραφή2η περίπτωση Έστω ότι ο Γιώργος έχει με πιθανότητα 50% τα έχει περισσότερα χρήματα, τότε ο σωστός τρόπος προσέγγισης, νομίζω, είναι να θεωρήσουμε ότι ο Γιώργος έχει τώρα τα ΚΧ χρήματα και ο Σωκράτης τα Χ χρήματα και θα χάσει τα ΚΧ χρήματα του.
Συνεπώς το αναμενόμενο κέρδος είναι
0,5ΚΧ - 0,5ΚΧ = 0
Τα ίδια και για τον Σωκράτη.
Άρα δεν υπάρχει αναμενόμενο θετικό κέρδος για κανέναν από τους δύο.
Και έτσι γλιτώνουμε και το μαθηματικό παράδοξο να κερδίζουν και οι δύο.
Το αν θα ανταλλάξουν τα πορτοφόλια τους είναι θέμα... αδρεναλίνης και τζογαδόρικης υποκουλτούρας.
Πολύ ωραία τα είπες donaltie duckie!
ΑπάντησηΔιαγραφήΘα συγκεκριμενοποιήσω λίγο τα πράγματα:
Η πιθανότητα να κερδίσει κάποιος, εξαρτάται από το ποσό που έχει στο πορτοφόλι του. Όσο περισσότερα έχει κάποιος τόσο πιθανότερο είναι να τα χάσει, και η μαθημ.του ελπίδα είναι αρνητική. Σε αντίθεση με ό,τι σκέφτονται οι δύο φίλοι, οι τύχες νίκης ΔΕΝ είναι 50/50 για ένα ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ ποσό στο πορτοφόλι. Όταν γίνεται ισοζύγιο αναμενόμενης τιμής , προκύπτει ότι το αναμενόμενο κέρδος (μαθ.ελπίδα) του παιχνιδιού και των δύο παικτών είναι 0.
Ο λόγος είναι αυτός ακριβώς που επεσήμανε ο donaltios :για κάθε συνδυασμό ποσών στα πορτοφόλια, υπάρχει ο αντισυμμετρικός συνδυασμός, με αντίθετη μαθ. Ελπίδα
Υπό την προϋπόθεση, πως τα ποσά στα πορτοφόλια είναι κατανεμημένα με την ίδια πιθανοτική κατανομή.
Στην πραγματικότητα, αυτό είναι και το λεπτό σημείο σε τέτοιου είδους προβλήματα. Για να έχει νόημα ο προβληματισμός, πρέπει κάποιος να προσδιορίσει σαφώς την κατανομή της πιθανότητας για τα χρήματα (την πιθανότητα δηλαδή ένα συγκεκριμένο πορτοφόλι να περιέχει ένα δεδομένο όριο χρημάτων).
Για να γίνει αυτό σαφές ,ας πάρουμε ένα πιο απλό και συγκεκριμένο παράδειγμα: Ας υποθέσουμε ότι κάθε πορτοφόλι μπορεί να περιέχει 1 , 2 ή 3 ευρώ, το κάθε ποσό με πιθανότητα 1/3. Υποθέτουμε επίσης ότι σε «ισοπαλία» (ίσο ποσό ένθεν κι ένθεν)δεν αλλάζουν χέρι χρήματα. Ας δούμε τι γίνεται για τον Γιώργο.
1. Πορτοφόλι Γιώργου περιέχει 1ευ.
----------------------------
Αν πορτ. Σωκράτη έχει 1ευ, το κέρδος του Γιώργου είναι: 0 ευ.
Αν πορτ. Σωκράτη έχει 2ευ, το κέρδος του Γιώργου είναι: 2 ευ.
Αν πορτ. Σωκράτη έχει 3ευ, το κέρδος του Γιώργου είναι: 3 ευ.
Κάθε περίπτωση έχει ίδια πιθανότητα να συμβεί και ίση με 1/3, έτσι η μαθ. Ελπίδα του Γιώργου, είναι σ’αυτή την περίπτωση:
(1/3)*( 0+ 2 + 3) = 5/3 ευρώ.
2. Πορτοφόλι Γιώργου περιέχει 2ευ.
----------------------------
Σ’αυτή την περίπτωση, έχουμε τα ακόλουθα πιθανά κέρδη για τον Γιώργο:
Πορτ. Σωκράτη | Κέρδος Γιώργου
--------------+------------
1 ευ. | -2ευ.
2 ευ | 0 ευ.
3 ευ | 3 ευ.
Και το μέσο κέρδος του Γιώργου είναι:
(1/3)* (- 2 + 0 + 3) = 1/3 ευρώ.
3. Πορτοφόλι Γιώργου περιέχει 3ευ.
----------------------------
Σ’αυτή την περίπτωση, έχουμε τα ακόλουθα πιθανά κέρδη για τον Γιώργο:
Πορτ. Σωκράτη | Κέρδος Γιώργου
--------------+------------
1 ευ. | -3ευ.
2 ευ | -3 ευ.
3 ευ | 0 ευ.
Και το μέσο κέρδος του Γιώργου είναι:
(1/3) * ( - 3 - 3 + 0) = -2 ευρώ.
Καθεμιά από τις 3 περιπτώσεις (για το πορτοφόλι του Γιώργου) συμβαίνει με πιθανότητα :1/3
Έτσι το μέσο κέρδος(μαθ. Ελπίδα) του Γιώργου είναι:
(1/3) * ( 5/3 + 1/3 - 2) = 0 ευρώ
Η τρίτη περίπτωση πιο πάνω, δείχνει χαρακτηριστικά την «λογική πλάνη». Σ’αυτή την περίπτωση,
Ο Γιώργος δεν μπορεί να κερδίσει περισσότερα απ’όσα μπορεί να χάσει, γιατί είναι αδύνατο για τον Σωκράτη να έχει περισσότερα χρήματα, απ’αυτά που έχει!
Προκύπτει λοιπόν, ότι το μέσο κέρδος θα είναι πάντα 0, ασχέτως κατανομής πιθανότητας, δεδομένου πάντα ότι ισχύει η ΙΔΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗ και για τους δύο παίκτες!