▪ 13 - 15 - 17

Έχουμε 13 λευκές, 15 μαύρες,και 17 κόκκινες μάρκες πάνω σε ένα τραπέζι. Έχουμε επίσης απεριόριστο αριθμό μαρκών και από τα 3 χρώματα. Επιτρέπεται κάθε φορά να αντικαθιστούμε 2 μάρκες διαφορετικού χρώματος με 2 μάρκες του τρίτου χρώματος. Μπορούμε μετά από κάποια βήματα να πετύχουμε και οι 45 μάρκες να έχουν το ίδιο χρώμα;

ΛΥΣΗ 

Έστω (α, μ, κ) α=άσπρη, μ=μαύρη, κ=κόκκινη. ,ο υπάρχων σε κάθε βήμα αριθμός μαρκών 

από κάθε χρώμα. Στο επόμενο βήμα, μπορούμε να έχουμε: 

(α+2, μ−1, κ−1) ή (α−1, μ+2, κ−1) ή (α − 1, μ − 1, κ + 2). 

Και στις τρεις περιπτώσεις, για την διαφορά ισχύει: 

(α + 2) − (μ − 1), (α − 1) − (μ + 2), (α − 1) − (μ − 1) ≡ α − μ (mod 3). 

Αυτό σημαίνει ότι το α− μ (mod 3) είναι σταθερή/αμετάβλητη ποσότητα. Αν όλες οι μάρκες γίνουν ίδιου χρώματος, θα έχουμε στο τέλος: (45, 0, 0) ή (0, 45, 0) ή (0, 0, 45). 

Άλλά θα πρέπει: α − μ ≡0 (mod 3) στο τέλος

Όμως, α − μ = 13 − 15 διάφορο 0 (mod 3) αρχικά. 

Άρα, η απάντηση είναι ότι δεν γίνεται να ''χρωματίσουμε'' όλες τις μάρκες με το ίδιο χρώμα.