Τρίτη 5 Φεβρουαρίου 2013

▪ System $\frac{9}{8}$

Nα λυθεί το σύστημα
$x^4+y^2-xy^3-\frac{9}{8}x = 0$
$y^4+x^2-yx^3-\frac{9}{8}y=0$.
Lithuania National Olympiad 2006
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Αναρτήθηκε από στις 5.2.13
Ετικέτες , ,

1 σχόλιο:

  1. RIZOPOULOS GEORGIOS5 Φεβρουαρίου 2013 στις 6:43 μ.μ.

    x^4 + y^2 –xy^3 –(9/8)x=0 (α)
    y^4 + x^2 –yx^3 –(9/8)y=0 (β)
    Πολ/ζουμε την (α) με x^2 και την (β) με y^2 και έχουμε
    X^6 +x^2y^2-x^2y^3 –(9/8)x^3=0
    y^6 +x^2y^2-x^2y^3 –(9/8)y^3=0
    Aφαιρώντας κατά μέλη έχουμε:
    x^6 –y^6 –(9/8) x^3+(9/8)y^3=0 (γ)
    Η (γ) παραγοντοποιείται /γίνεται
    (x^3 –y^3)(x^3 +y^3-9/8)=0 (δ)
    Για x3-y3=0 , x=y=0 λύση.
    Για x διάφορο του y έχουμε:
    x^3+y^3=9/8 (ε)
    Διαιρούμε την (α) με x, την (β) με y ,προσθέτουμε κατά μέλη και αντικαθιστούμε από την (ε) και έχουμε:
    (x^3 + y^3)/xy = 9/4 ή xy=1/2 ή x^3 y^3=1/8 (ζ)
    Από (ε) και (ζ) έχουμε x=1 , y=1/2 ή χ=1/2 και y=1

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)