Ισοδύναμα πολύγωνα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 

Να μετασχηματισθεί πολύγωνο σε άλλο ισοδύναμό του με μια πλευρά λιγότερη.

Λύση

Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, π.χ. ένα πεντάγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta {\rm E}$. Από την κορυφή ${\rm A}$ φέρουμε τη διαγώνιο ${\rm A}\Gamma$, που αφήνει προς το ένα μέρος της μόνο μια κορυφή, τη ${\rm B}$. Από το ${\rm B}$ φέρουμε την παράλληλο προς την ${\rm A}\Gamma$, η οποία τέμνει την ευθεία $\Delta \Gamma$ στο ${\rm Z}$.

Τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ και ${\rm A}{\rm Z}\Gamma$ έχουν κοινή βάση ${\rm A}\Gamma$ και τα αντίστοιχα προς αυτή ύψη ίσα, αφού ${\rm B}{\rm Z}//{\rm A}\Gamma$.

Τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ και ${\rm A}{\rm Z}\Gamma$ έχουν κοινή βάση ${\rm A}\Gamma$ και τα αντίστοιχα προς αυτή ύψη ίσα, αφού ${\rm B}{\rm Z}//{\rm A}\Gamma$. 

Επομένως, $({\rm A}{\rm B}\Gamma )=({\rm A}{\rm Z}\Gamma )$, οπότε $({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta {\rm E})=({\rm A}{\rm B}\Gamma )+({\rm A}\Gamma \Delta {\rm E})=({\rm A}{\rm Z}\Gamma )+({\rm A}\Gamma \Delta {\rm E})=({\rm A}{\rm Z}\Delta {\rm E})$ δηλαδή το πεντάγωνο 4ΑΒΓΔΕ$\epsilon ί\nu \alpha \iota \iota \sigma o\delta ύ\nu \alpha \mu o\mu \epsilon \tau o\tau \epsilon \tau \rho ά\pi \lambda \epsilon \upsilon \rho o$ΑΖΔΕ$ και επομένως το αρχικό μας πολύγωνο είναι ισοδύναμο με πολύγωνο που έχει μια πλευρά λιγότερη. 

Αν επαναλάβουμε την παραπάνω διαδικασία στο τετράπλευρο ${\rm A}{\rm Z}\Delta {\rm E}$, θα μετασχηματισθεί σε ισοδύναμο τρίγωνο. 

Έτσι, το αρχικό μας πολύγωνο μπορεί να μετασχηματισθεί σε ισοδύναμο τρίγωνο

Από το σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας της Β΄ Λυκείου.