Ισοδύναμα πολύγωνα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 

Να μετασχηματισθεί πολύγωνο σε άλλο ισοδύναμό του με μια πλευρά λιγότερη.

Λύση

Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, π.χ. ένα πεντάγωνο $ΑΒΓΔΕ$. Από την κορυφή $Α$ φέρουμε τη διαγώνιο $ΑΓ$, που αφήνει προς το ένα μέρος της μόνο μια κορυφή, τη $Β$. Από το $Β$ φέρουμε την παράλληλο προς την $ΑΓ$, η οποία τέμνει την ευθεία $ΔΓ$ στο $Ζ$.

Τα τρίγωνα $ΑΒΓ$ και $ΑΖΓ$ έχουν κοινή βάση $ΑΓ$ και τα αντίστοιχα προς αυτή ύψη ίσα, αφού $ΒΖ // ΑΓ$.

Τα τρίγωνα $ΑΒΓ$ και $ΑΖΓ$ έχουν κοινή βάση $ΑΓ$ και τα αντίστοιχα προς αυτή ύψη ίσα, αφού $ΒΖ // ΑΓ$. 

Επομένως, $(ΑΒΓ) = (ΑΖΓ)$, οπότε $(ΑΒΓΔΕ) = (ΑΒΓ) + (ΑΓΔΕ) = (ΑΖΓ) + (ΑΓΔΕ) = (ΑΖΔΕ)$ δηλαδή το πεντάγωνο 4ΑΒΓΔΕ$ είναι ισοδύναμο με το τετράπλευρο $ΑΖΔΕ$ και επομένως το αρχικό μας πολύγωνο είναι ισοδύναμο με πολύγωνο που έχει μια πλευρά λιγότερη. 

Αν επαναλάβουμε την παραπάνω διαδικασία στο τετράπλευρο $ΑΖΔΕ$, θα μετασχηματισθεί σε ισοδύναμο τρίγωνο. 

Έτσι, το αρχικό μας πολύγωνο μπορεί να μετασχηματισθεί σε ισοδύναμο τρίγωνο

Από το σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας της Β΄ Λυκείου.