Έστω $a, b, c, d, e, f $ θετικοί ακέραιοι αριθμοί, καθένας τους το λιγότερο 2, των οποίων το άθροισμα είναι $S$. Να αποδειχθεί ότι
$a(a-1) + b(b-1) + c(c-1) + d(d-1) + e(e-1) +$
$+ f(f-1)\leq{(S-10)(S-11) + 10}$
Πότε ισχύει η ισότητα;
$+ f(f-1)\leq{(S-10)(S-11) + 10}$
Πότε ισχύει η ισότητα;
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
a(a - 1) + b(b - 1) + c(c - 1) + d(d - 1) + e(e - 1) + f(f - 1) <= (S - 10)(S - 11) + 10
ΑπάντησηΔιαγραφήή a^2-a + b^2-b + c^2-c +d^2-d +e^2-e+ f^2-f <= (S - 10)(S - 11) + 10
(a^2-a + b^2-b + c^2-c +d^2-d +e^2-e+ f^2-f )+(-3*(a+b+c+d+e+f)+24)<= ((S - 10)(S - 11) + 10)+ (-3*(a+b+c+d+e+f)+24)
a^2-4a +2^2 +….+f^2-4f+2^2 <= ((S - 10)(S - 11) + 10)+ (-3*S+24)
Ή (α-2)^2 + (β-2)^2 + (c-2)^2 +(d-2)^2 + (e-2)^2 +(f-2)^2 <= ((S - 10)(S - 11) + 10)+ (-3*S+24)
Ή (α-2)^2 + (β-2)^2 + (c-2)^2 +(d-2)^2 + (e-2)^2 +(f-2)^2 <= (S-12)^2 (1)
Με την (1) πετύχαμε τη μορφή x^2+y^2+z^2+w^2+v^2+k^2 <= (x+y+z+w+v+k)^2 , (2)
όπου
x=a-2 , y=b-2 , z=c-2 ..κλπ
H (2) μια και στο αριστερό μέλος έχουμε άθροισμα τετραγώνων (μη αρνητικών αριθμών εφόσον είναι >=2) και στο δεξί το τετράγωνο του αθροίσματος, ισχύει πάντα, εκτός και αν όλα τα ανά δύο γινόμενα: xy, xz, yz κλπ είναι μηδέν. Που σημαίνει ότι όλα τα x,y,z,w,v,k εκτός από ένα πρέπει να είναι 0. Αντιστοίχως δηλαδή, αν 5 από τους a,b,c,d,e,f είναι =2 (εκτός από έναν αριθμό που αναγκαστικά είναι ίσος με S-10)