Η καμπυλότητα του χωροχρόνου και η έννοια της μετρικής

Τι εννοούμε όταν λέμε ότι ο χώρος είναι καμπύλος;

Είναι αρκετά δύσκολο να κατανοήσουμε την έννοια της καμπυλότητας του χώρου. Η δυσκολία προέρχεται κυρίως από την έμφυτη αντίληψη που έχουμε για τη γεωμετρία και η οποία αναπτύχθηκε σ’ ένα περιβάλλον στο οποίο ισχύει αρκετά καλά η Ευκλείδεια γεωμετρία.

Ένα ακόμα εμπόδιο είναι και η λέξη καμπυλότητα, η οποία στην καθομιλουμένη μας δίνει τελείως λανθασμένη εικόνα.

Πράγματι στην καθομιλουμένη αλλά και στα στοιχειώδη μαθηματικά η λέξη “καμπύλη” σημαίνει μια καμπυλωμένη γραμμή. Αλλά με την ορολογία του Gauss, την οποία χρησιμοποιούμε στην κοσμολογία, ένας μονοδιάστατος χώρος (μια γραμμή) δεν έχει καμπυλότητα όποιο κι αν είναι το σχήμα της.

Ας δούμε και ένα άλλο παράδειγμα. Θεωρείστε ένα επίπεδο φύλλο χαρτιού, το οποίο θεωρούμε ως χώρο 2-διαστάσεων. Τυλίξτε το σε κύλινδρο. Είναι καμπύλος ο χώρος αυτός; Ναι, θα σπεύδαμε ίσως ν’ απαντήσουμε, σύμφωνα με τη συνήθη έννοια της λέξης. Σύμφωνα όμως με την Γκαουσιανή έννοια της καμπυλότητας, ο κύλινδρος εμφανίζει μηδενική καμπυλότητα.

Σύμφωνα με τον Gauss, καμπύλος είναι ο χώρος εκείνος στον οποίο δεν ισχύουν τα αξιώματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Τα αξιώματα αυτά είναι:

1. Από οποιοδήποτε σημείο μπορούμε να φέρουμε μια ευθεία γραμμή προς οποιοδήποτε άλλο σημείο.

2. Οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα μπορεί να επεκταθεί προς τα δύο του άκρα συνεχώς, ώστε να μας δώσει μια ευθεία γραμμή.

3. Είναι δυνατόν να χαράξουμε ένα κύκλο, με οποιοδήποτε κέντρο και ακτίνα.

4. Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.

5. Αν μια ευθεία γραμμή η οποία τέμνει δύο άλλες, σχηματίζει εσωτερικές γωνίες μ’ αυτές προς την ίδια πλευρά της, με άθροισμα λιγότερο από 2 ορθές, τότε αν οι 2 ευθείες επεκταθούν επ’ άπειρον, τέμνονται προς εκείνη την πλευρά προς την οποία το άθροισμα των παραπάνω γωνιών ήταν λιγότερο από 2 ορθές.

Ο Gauss κατάλαβε ότι αν το 5ο αξίωμα δεν ισχύει, τότε οι γεωμετρίες που δημιουργούνται διαφέρουν από την Ευκλείδεια. Τέτοιες γεωμετρίες λέγονται μη Ευκλείδειες. Στο σημείο αυτό πρέπει ν’ αναφέρουμε ότι στις καμπύλες επιφάνειες και τους καμπύλους χώρους η έννοια της ευθείας γραμμής έχει αντικατασταθεί από την έννοια της γεωδεσιακής γραμμής.

Γεωδεσιακή γραμμή είναι εκείνη η γραμμή επάνω στην επιφάνεια που ενώνει δύο σημεία της και έχει το ελάχιστο δυνατόν μήκος. Το πιο γνωστό παράδειγμα γεωδεσιακής, είναι ένας μέγιστος κύκλος στην επιφάνεια μιας σφαίρας.

Σύμφωνα με τον Gauss λοιπόν, καμπύλη είναι μια επιφάνεια ή ένας χώρος στον οποίο δεν ισχύει το 5ο αξίωμα του Ευκλείδη για μια γεωδεσιακή που τέμνει 2 άλλες.

Αν κοιτάξουμε μια επιφάνεια όπως πχ ένα κύλινδρο ή μια σφαίρα ευρισκόμενοι έξω από αυτήν είναι προφανές αν αυτή είναι καμπύλη ή όχι. Υποθέστε όμως ότι είστε ένα πλάσμα των 2 διαστάσεων που ζει επάνω στην επιφάνεια. Δεν μπορείτε να βγείτε έξω απ’ αυτήν, αλλά προκειμένου να ελέγξετε αν ισχύει η Ευκλείδεια γεωμετρία ή όχι, μπορείτε να κάνετε πειράματα γεωμετρίας με γεωδεσιακές γραμμές και να ελέγξετε αν ισχύουν τα πορίσματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Όταν λοιπόν ο Gauss μιλάει για καμπυλότητα ενός χώρου, την εννοεί ως ένα μέγεθος μετρούμενο καθώς βρισκόμαστε μέσα στον ίδιο χώρο που επιθυμούμε να ελέγξουμε.

Αυτό έχει ως αποτέλεσμα ότι μια κυλινδρική επιφάνεια δεν είναι πια καμπύλη, αφού οι γεωδεσιακές γραμμές της δεν παραβιάζουν τα αξιώματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Θυμηθείτε ότι οι γεωδεσιακές επί του κυλίνδρου δεν είναι τίποτε άλλο παρά οι ευθείες γραμμές που χαράζουμε πάνω στο επίπεδο φύλλο χαρτιού το οποίο τυλίξαμε για να φτιάξουμε τον κύλινδρο. Οι γωνίες τους παραμένουν οι ίδιες και τίποτα απολύτως δεν αλλάζει καθώς μεταφερόμαστε από το επίπεδο χαρτί στον κύλινδρο.

Το γεγονός βέβαια ότι αν ξεκινήσουμε από ένα σημείο και ακολουθώντας μια γεωδεσιακή γύρω από τον κύλινδρο επιστρέφουμε πάλι στο αρχικό σημείο, δεν οφείλεται σε παραβίαση της Ευκλείδειας γεωμετρίας, αλλά σε αλλαγή της τοπολογίας που είναι κάτι τελείως διαφορετικό.

Κάθε λεία επιφάνεια, αν την εξετάσουμε τοπικά, δηλαδή σε μια μικροσκοπική περιοχή ακολουθεί με πολύ καλή προσέγγιση την Ευκλείδεια γεωμετρία. Όσο όμως πηγαίνουμε σε μεγαλύτερη και μεγαλύτερη έκτασή της όλο και περισσότερο διαπιστώνουμε αποκλίσεις από την Ευκλείδεια γεωμετρία, αν η επιφάνειά μας έχει καμπυλότητα. Για παράδειγμα, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου δεν είναι πια $180^ο$ , και η περίμετρος ενός κύκλου δεν είναι πια ίση με $2πr$, όπου $r$ η ακτίνα του. Κάτι τέτοιο όμως δεν συμβαίνει με τον κύλινδρο, ο οποίος εξακολουθεί να υπακούει στην Ευκλείδεια γεωμετρία σε κάθε κλίμακα μεγέθους.

Αν λοιπόν ο κύλινδρος δεν παρουσιάζει καμπυλότητα, πως μπορούμε να δημιουργήσουμε μια καμπύλη επιφάνεια που να ικανοποιεί τα κριτήρια του Gauss;

Πολύ απλά. Αν χύσουμε λίγο καφέ σ’ ένα φύλο χαρτιού και το αφήσουμε στον ήλιο να στεγνώσει, την άλλη μέρα το χαρτί θα έχει παραμορφωθεί. Την παραμορφωμένη επιφάνεια του χαρτιού δεν μπορούμε με τίποτα να την ξανακάνουμε επίπεδη. Τι συνέβη όμως πραγματικά στο πείραμα αυτό;

Όταν ο καφές απορροφήθηκε από το χαρτί και στη συνέχεια στέγνωσε, άλλαξαν οι αποστάσεις μεταξύ των γειτονικών ινών του χαρτιού. Παίρνουμε έτσι μια περιοχή που είναι αρκετά μεγάλη για να χωρέσει μέσα στο περίγραμμά της και να παραμείνει επίπεδη ώστε να ισχύει η Ευκλείδεια γεωμετρία. Σ’ εμάς όλη αυτή η ιστορία μας εμφανίζεται ως ένα εξόγκωμα του χαρτιού, αλλά το ουσιαστικό γεγονός είναι ότι το πλέγμα των αποστάσεων μεταξύ γειτονικών ινών δεν υπακούει πια στους κανόνες της επίπεδης Ευκλείδειας γεωμετρίας.

Φαντασθείτε τώρα ότι το διδιάστατο επίπεδό μας είναι τώρα τελείως αφηρημένο. Το πλέγμα των αποστάσεων μεταξύ γειτονικών σημείων δεν υπακούει πια στην Ευκλείδεια γεωμετρία και έχει παραμορφωθεί, ακριβώς όπως οι ίνες του χαρτιού. Χωρίς να χρειάζεται όμως να φαντασθούμε κάποια εξογκώματα όπως είχαμε στην περίπτωση του χαρτιού.

Το πλέγμα των αποστάσεων μεταξύ γειτονικών σημείων, είναι μια πολύ χρήσιμη έννοια και έχει ένα ειδικό όνομα. Λέγεται μετρική. Φυσικά το να μιλάμε για πλέγμα είναι μια υπεραπλούστευση αφού το επίπεδο είναι ένα συνεχές μέσον. Υπάρχει συνεχής απειρία από σημεία σε οποιοδήποτε διάστημα. Αλλά αυτό δεν μας εμποδίζει από το να καθορίσουμε έναν κανόνα που θα μας δίνει την απόσταση μεταξύ δύο οποιονδήποτε κοντινών σημείων. Για να το πετύχουμε αυτό χρειαζόμαστε ένα τρόπο αρίθμησης των σημείων και αυτό ακριβώς έχουμε τις συντεταγμένες. Ένα σύνολο δηλαδή $Ν$ αριθμών (για μια $Ν$-διάστατη επιφάνεια) που μεταβάλλονται ομαλά από σημείο σε σημείο της επιφάνειας.

Στην κοσμολογία η μετρική εμφανίζεται ως μια σχέση που δίνει την απειροστή απόσταση μεταξύ δύο διακριτών σημείων πάρα πολύ κοντά το ένα με το άλλο. Η μετρική λοιπόν εξαρτάται από τις συντεταγμένες που χρησιμοποιούμε, όπως και από την πραγματική γεωμετρία του χώρου.

Για παράδειγμα σ’ ένα Ευκλείδειο επίπεδο μερικές από τις δυνατές μετρικές είναι:

$ds^2 =dx^2 +dy^2$ (Καρτεσιανές συντεταγμένες)

$ds^2 = dr^2 +r^{2}dθ^2$ (Πολικές συντεταγμένες, με τη γωνία $θ$ σε rad).

Από την άλλη μεριά η μετρική πάνω στην επιφάνεια μιας σφαίρας έχει τη μορφή:

$ds^2 = dr^2 +sin^{2}r.dθ^2$ (Πολικές συντεταγμένες στη σφαιρική γεωμετρία).

Η τελευταία γεωμετρία δεν είναι Ευκλείδεια αλλά για πολύ μικρές περιοχές μπορεί να θεωρηθεί προσεγγιστικά Ευκλείδεια. Για παράδειγμα αν $r$ είναι πολύ μικρό sinr~r και η μετρική καταλήγει Ευκλείδεια.

Στην κοσμολογία έχουμε να κάνουμε με τετραδιάστατο χωροχρόνο, ο οποίος σύμφωνα με την γενική σχετικότητα, τοπικά έχει ως μετρική την μετρική Minkowski της ειδικής σχετικότητας:

$ds^2 =(cdt)^2 -dx^2 -dy^2 -dz^2$.

Πηγή: physics4u