▪ Ισότητα Συναρτήσεων: Σημαντικές παρατηρήσεις

Ορισμός 

Δίδονται οι συναρτήσεις 

$f:A\to R$ και $g:B\to R$. 

Θα λέμε ότι οι $f$ και $g$ είναι ίσες ($f=g$) όταν:

▪ έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού ($A=B$).

▪ για κάθε $x\in A$ ισχύει $f(x)=g(x)$.

Σημαντικές Παρατηρήσεις

1. Από τον παραπάνω ορισμό είναι φανερό ότι οι ίσες συναρτήσεις $f,g$ θα έχουν και ίδια σύνολα τιμών.

2. Αν οι συναρτήσεις $f$ και $g$ ορίζονται σε ένα σύνολο $\Delta \subseteq D_f\cap D_f$ και για κάθε  $x\in \Delta$ ισχύει $f(x)=g(x)$, τότε θα λέμε ότι οι $f,g$ είναι ίσες στο $\Delta$ αλλά, χωρίς απαραίτητα να είναι και ίσες στο πεδίο ορισμού τους.

π.χ.

$f(x)=\mid x\mid$, $D_f=R$

$g(x)=x$, $D_g=R$.

Έστω $\Delta =[0,+\mathrm{\infty })$ .

Παρατηρώ ότι $f(x)=\mid x\mid =x=g(x)$, για κάθε  $x\in \Delta$.

Επίσης παρατηρώ ότι έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού. Όμως υπάρχει (τουλάχιστον ένα) $x_0\in R$ με $f(x_0)\ne g(x_0)$, δηλαδή $f(-8)\ne g(-8)$.

3. Απόρροια του ορισμού είναι ότι δύο συναρτήσεις θα είναι διάφορες μεταξύ τους ($f\ne g$), αν τουλάχιστον μία από τις δύο συνθήκες δεν ισχύει. Γι' αυτό το λόγο για να ελέγξουμε κατά πόσο δύο συναρτήσεις είναι ίσες εξετάζουμε πρώτα αν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και ύστερα αν $f(x)=g(x)$, για κάθε $x\in A$.

4. Αν $f=g$, τότε οι γραφικές τους παραστάσεις ταυτίζονται.

5. Συχνά όταν $f\ne g$ ζητείται να βρεθεί το "ευρύτερο" υποσύνολο του $R$ στο οποίο να είναι ίσες οι συναρτήσεις. 

Σ' αυτή την περίπτωση προσδιορίζουμε το "ευρύτερο" υποσύνολο του $R$, έστω ${\rm E}$, στο οποίο ορίζονται οι $f,g$. Δηλαδή $E\subseteq D_f\cap D_f$ και $f(x)=g(x)$, για κάθε  $x\in E$. Άρα $f=g$ στο ${\rm E}$.