▪ Ισότητα Συναρτήσεων: Σημαντικές παρατηρήσεις

Ορισμός 

Δίδονται οι συναρτήσεις 

$f:{A}\rightarrow{R}$ και $g:{B}\rightarrow{R}$. 

Θα λέμε ότι οι $f$ και $g$ είναι ίσες ($f=g$) όταν:

▪ έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού ($A=B$).

▪ για κάθε $x\in{A}$ ισχύει $f(x)=g(x)$.

Σημαντικές Παρατηρήσεις

1. Από τον παραπάνω ορισμό είναι φανερό ότι οι ίσες συναρτήσεις $f,g$ θα έχουν και ίδια σύνολα τιμών.

2. Αν οι συναρτήσεις $f$ και $g$ ορίζονται σε ένα σύνολο $Δ\subseteq{D_{f}}\cap{D_{f}}$ και για κάθε  $x\in{Δ}$ ισχύει $f(x)=g(x)$, τότε θα λέμε ότι οι $f, g$ είναι ίσες στο $Δ$ αλλά, χωρίς απαραίτητα να είναι και ίσες στο πεδίο ορισμού τους.

π.χ.

$f(x)=\mid{x}\mid$, $D_{f}=R$

$g(x)=x$, $D_{g}=R$.

Έστω $Δ=[0,+\infty)$ .

Παρατηρώ ότι $f(x)=\mid{x}\mid=x=g(x)$, για κάθε  $x\in{Δ}$.

Επίσης παρατηρώ ότι έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού. Όμως υπάρχει (τουλάχιστον ένα) $x_{0}\in{R}$ με $f(x_0)\neq{g(x_0)}$, δηλαδή $f(-8)\neq{g(-8)}$.

3. Απόρροια του ορισμού είναι ότι δύο συναρτήσεις θα είναι διάφορες μεταξύ τους ($f\neq{g}$), αν τουλάχιστον μία από τις δύο συνθήκες δεν ισχύει. Γι' αυτό το λόγο για να ελέγξουμε κατά πόσο δύο συναρτήσεις είναι ίσες εξετάζουμε πρώτα αν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και ύστερα αν $f(x)=g(x)$, για κάθε $x\in{A}$.

4. Αν $f=g$, τότε οι γραφικές τους παραστάσεις ταυτίζονται.

5. Συχνά όταν $f\neq{g}$ ζητείται να βρεθεί το "ευρύτερο" υποσύνολο του $R$ στο οποίο να είναι ίσες οι συναρτήσεις. 

Σ' αυτή την περίπτωση προσδιορίζουμε το "ευρύτερο" υποσύνολο του $R$, έστω $Ε$, στο οποίο ορίζονται οι $f, g$. Δηλαδή $E\subseteq{D_{f}}\cap{D_{f}}$ και $f(x)=g(x)$, για κάθε  $x\in{E}$. Άρα $f=g$ στο $Ε$.