Περί Φ … ο λόγος

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $AB\mathrm{\Gamma }$ με $AB=A\mathrm{\Gamma }=\beta$ και $\mathrm{\Delta }$ το μέσο της $B\mathrm{\Gamma }$. Αν $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε είναι ${\displaystyle \frac{B\mathrm{\Gamma }}{R}}=\sqrt{\mathrm{\Phi }+2}$, όπου $\mathrm{\Phi }$ ο λόγος της χρυσής τομής. 

Έστω $Z$ το σημείο της $A\mathrm{\Gamma }$ τέτοιο ώστε $\mathrm{\Delta }Z\perp A\mathrm{\Gamma }$ και σημείο $E$ της $\mathrm{\Delta }Z$ τέτοιο ώστε να ισχύει 

${\displaystyle \frac{\left(A\mathrm{\Delta }E\right)}{\left(AB\mathrm{\Gamma }\right)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Phi }+1}{16}}$. 

Αν $H$ η τομή των $AE,BZ$ και $S_1,S_2$ τα εμβαδά των δίσκων των περίκυκλων των τριγώνων $AB\mathrm{\Gamma },B\mathrm{\Delta }H$ αντίστοιχα τότε να δειχθεί ότι είναι 

${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}=8-4\mathrm{\Phi }$.

Πηγή: Γιώργος Μήτσιος