Περί Φ … ο λόγος

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB=A\Gamma =\beta$ και $\Delta$ το μέσο της $B\Gamma$. Αν $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε είναι $\dfrac{B\Gamma }{R}=\sqrt{\Phi + 2}$, όπου $\Phi$ ο λόγος της χρυσής τομής. 

Έστω $Z$ το σημείο της $A\Gamma$ τέτοιο ώστε $\Delta Z\perp A\Gamma$ και σημείο $E$ της $\Delta Z$ τέτοιο ώστε να ισχύει 

$\dfrac{\left(A\Delta E \right)}{\left(AB\Gamma \right)} =\dfrac{\Phi +1}{16}$. 

Αν $H$ η τομή των $AE ,BZ$ και $S_{1} , S_{2}$ τα εμβαδά των δίσκων των περίκυκλων των τριγώνων $AB\Gamma ,B\Delta H$ αντίστοιχα τότε να δειχθεί ότι είναι 

$\dfrac{S_{1}}{S_{2}}= 8 -4\Phi$.

Πηγή: Γιώργος Μήτσιος