▪ Λόγος ακτίνων = Λόγος αποστημάτων

ΠΟΡΙΣΜΑ

Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισούται με το λόγο των ακτίνων τους και το λόγο των αποστημάτων τους.

Απόδειξη

Θεωρούμε δύο κανονικά πολύγωνα ΑΒΓ...Τ και Α'ΒΤ'...Τ' με το ίδιο πλήθος πλευρών, έστω ν (ν ≥3). Αν Ο,Ο' τα κέντρα των πολυγώνων, τα τρίγωνα ΟΑΒ και Ο'Α'Β' είναι όμοια γιατί είναι ισοσκελή και έχουν ΑÔΒ = Α'Ô'Β' = 360°ν και επομένως AΒA'B' = ΟΑΟ'Α' = ΟΗΟ'Η' , όπου ΟΗ, Ο'Η' τα ύψη των τριγώνων. Από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι:

όπου λ_ν , R, α_ν τα συνήθη στοιχεία του ΑΒΓ...Τ και λ'_ν , R', α'_ν τα στοιχεία του Α'Β'Γ'...Τ'.

Από το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας της Β΄ Λυκείου.