Click to Translate Whole Page to Read and Solve

Δευτέρα 31 Δεκεμβρίου 2012

Β' Λυκείου: Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός 1986

1. Θεωρούμε τμήμα AB και σημείο του Γ. Κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο BΓM(M^=90o). Έστω O το σημείο που το τμήμα AM τέμνεται από την ευθεία που περνά από το Γ και είναι παράλληλη στην BM. Να δείξετε οτι το σημείο O ανήκει σε σταθερό κύκλο, του οποίου να υπολογίσετε την ακτίνα. 
2. Θεωρούμε 5-γωνο περιγεγραμμένο σε κύκλο που οι πλευρές του έχουν μήκη ακέραιους αριθμούς, ενώ η περίμετρός του είναι άρτιος αριθμός. Να δείξετε ότι τα τμήματα στα οποία οι πλευρές του χωρίζονται από τα σημεία επαφής, έχουν μήκη ακέραιους αριθμούς. 
3. Για ποίες τιμές του γ υπάρχει μια τουλάχιστον τιμή του α, ώστε για κάθε τιμή του β το σύστημα 
x+3y=2β2 
3x+αy=βγ+2 
να έχει λύση; 
4. Να λυθεί η εξίσωση 
(xx+1)2+(xx1)2=ν(ν1) 
όπου ν φυσικός, ν2.