Β' Λυκείου: Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός 1986

1. Θεωρούμε τμήμα ${\displaystyle AB}$ και σημείο του ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }}$. Κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο ${\displaystyle B\mathrm{\Gamma }M({\displaystyle \hat{M}={90}^o)}}$. Έστω ${\displaystyle O}$ το σημείο που το τμήμα ${\displaystyle AM}$ τέμνεται από την ευθεία που περνά από το ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }}$ και είναι παράλληλη στην ${\displaystyle BM}$. Να δείξετε οτι το σημείο ${\displaystyle O}$ ανήκει σε σταθερό κύκλο, του οποίου να υπολογίσετε την ακτίνα. 

2. Θεωρούμε ${\displaystyle 5}$-γωνο περιγεγραμμένο σε κύκλο που οι πλευρές του έχουν μήκη ακέραιους αριθμούς, ενώ η περίμετρός του είναι άρτιος αριθμός. Να δείξετε ότι τα τμήματα στα οποία οι πλευρές του χωρίζονται από τα σημεία επαφής, έχουν μήκη ακέραιους αριθμούς. 

3. Για ποίες τιμές του ${\displaystyle \gamma }$ υπάρχει μια τουλάχιστον τιμή του ${\displaystyle \alpha }$, ώστε για κάθε τιμή του ${\displaystyle \beta }$ το σύστημα 

$x+3y=2{\beta }^2$ 

$3x+\alpha y=\beta \gamma +2$ 

να έχει λύση; 

4. Να λυθεί η εξίσωση 

${\displaystyle {\left(\frac{x}{x+1}\right)}^2+{\left(\frac{x}{x-1}\right)}^2=\nu (\nu -1)}$ 

όπου $\nu$ φυσικός, $\nu \ge 2$.

Πηγή: mathematica (parmenides51)