Β' Λυκείου: Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός 1986

1. Θεωρούμε τμήμα $\displaystyle{AB}$ και σημείο του $\displaystyle{\Gamma}$. Κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{B\Gamma M} (\displaystyle{\widehat{M}=90^o})$. Έστω $\displaystyle{O}$ το σημείο που το τμήμα $\displaystyle{AM}$ τέμνεται από την ευθεία που περνά από το $\displaystyle{\Gamma}$ και είναι παράλληλη στην $\displaystyle{BM}$. Να δείξετε οτι το σημείο $\displaystyle{O}$ ανήκει σε σταθερό κύκλο, του οποίου να υπολογίσετε την ακτίνα. 

2. Θεωρούμε $\displaystyle{5}$-γωνο περιγεγραμμένο σε κύκλο που οι πλευρές του έχουν μήκη ακέραιους αριθμούς, ενώ η περίμετρός του είναι άρτιος αριθμός. Να δείξετε ότι τα τμήματα στα οποία οι πλευρές του χωρίζονται από τα σημεία επαφής, έχουν μήκη ακέραιους αριθμούς. 

3. Για ποίες τιμές του $\displaystyle{\gamma}$ υπάρχει μια τουλάχιστον τιμή του $\displaystyle{\alpha}$, ώστε για κάθε τιμή του $\displaystyle{\beta}$ το σύστημα 

$x+ 3y=2\beta^2$ 

$3 x+ \alpha y=\beta\gamma+2$ 

να έχει λύση; 

4. Να λυθεί η εξίσωση 

$\displaystyle{\left(\frac{x}{x+1}\right)^2+\left(\frac{x}{x-1}\right)^2= \nu (\nu -1)}$ 

όπου $ν$ φυσικός, $\nu \ge 2$.

Πηγή: mathematica (parmenides51)