▪ Β' Λυκείου: Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός 1986

1. Έστω τρίγωνο και σημείο στο εσωτερικό σημείο του . Από τυχαίο σημείο Μ θεωρούμε τα διανύσματα . 

Αν

  

όπου , να δείξεις ότι .

2. Έστω η ακολουθία με

  με . 

Να υπολογίσετε το .

3. Έστω ένας πίνακας με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς, ικανοποιεί την σχέση , όπου και ο μοναδιαίος και ο μηδενικός πίνακας αντίστοιχα.

Ν' αποδειχτεί ότι για κάθε ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος και να υπολογιστεί ο αντίστροφος του.

4. Έστω ακολουθία φυσικών αριθμών με

  με .

Στο επίπεδο δίνονται διαφορετικά σημεία που ανά δεν είναι συνευθειακά.

Τα τμήματα που συνδέουν τα σημεία αυτά τα χρωματίζουμε με διαφορετικά χρώματα.

Να δείξετε ότι για κάθε υπάρχει τρίγωνο με κορυφές τα σημεία αυτά, που οι πλευρές του έχουν το ίδιο χρώμα.

Πηγή: mathematica (parmenides51)