▪ Β' Λυκείου: Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός 1986

1. Θεωρούμε τμήμα και σημείο του . Κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο ().

Έστω το σημείο που το τμήμα τέμνεται από την ευθεία που περνά από το και είναι παράλληλη στην .

Να δείξετε οτι το σημείο ανήκει σε σταθερό κύκλο, του οποίου να υπολογίσετε την ακτίνα.

2. Θεωρούμε -γωνο περιγεγραμμένο σε κύκλο που οι πλευρές του έχουν μήκη ακέραιους αριθμούς, ενώ η περίμετρός του είναι άρτιος αριθμός. 

Να δείξετε ότι τα τμήματα στα οποία οι πλευρές του χωρίζονται από τα σημεία επαφής, έχουν μήκη ακέραιους αριθμούς.

3. Για ποιες τιμές του υπάρχει μια τουλάχιστον τιμή του , ώστε για κάθε τιμή του το σύστημα 

 

να έχει λύση;

4. Να λυθεί η εξίσωση

   

όπου φυσικός, .

Πηγή: mathematica (parmenides51)