Πέμπτη 18 Οκτωβρίου 2012

▪ Εύρεση πολυωνύμου

Να βρεθούν τα πολυώνυμα $Ρ(x)$ για τα οποία ισχύει:
$(x^3+ 3x^2+3x+2)P(x-1) = (x^3- 3x^2 + 3x-2)P(x)$
για κάθε $x\in{R}$.
2003 Vietnamese Mathematical Olympiad 
Αναρτήθηκε από στις 18.10.12
Ετικέτες , ,

1 σχόλιο:

  1. Dimitris19 Οκτωβρίου 2012 στις 10:13 μ.μ.

    Έχουμε (x^3+3x^2+3x+2) = (x+2)(x^2+x+1)
    (x^3-3x^2+3x-2) = (x-1)(x^2-x+1)
    Άρα η αρχική γράφεται:
    (x+2)(x^2+x+1)P(x-1) = P(x)(x-1)(x^2-x+1)
    Αν x = -2 τότε το P(-3) είναι λύση
    Αν x = 1 τότε το P( 0) είναι επίσης λύση
    Άρα αφού P(0) = 0
    έχουμε 2P(-1) = 0 <=> P(-1) = 0

    Γενικά θα ισχύει αν κ είναι ρίζα και δεν είναι (1, -2), τότε το κ+1 είναι επίσης ρίζα.
    Άρα είναι το μηδενικό πολυώνυμο

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)