α. Πόσες ακολουθίες δέκα θετικών ακεραίων αριθμών έχουν άθροισμα μικρότερο ή ίσο από $1.000$;
β. Πόσες ακολουθίες δέκα μη αρνητικών ακεραίων αριθμών έχουν άθροισμα μικρότερο ή ίσο από $1.000$;
Για παράδειγμα, 210 ακολουθίες τεσσάρων θετικών ακεραίων αριθμών έχουν άθροισμα μικρότερο ή ίσο με το δέκα. Τρία παραδείγματα τέτοιων ακολουθιών είναι:
$(1,2,5,2), (2,2,5,1)$ και $(1, 2,3,4)$.
Οι ακολουθίες θα είναι της μορφής $(X_{1} , X_{2} ,..., X_{10} )$
ΑπάντησηΔιαγραφήκαι πρέπει να ισχύει $ X_{1} +X_{2} +...+ X_{10} \leq1000$ , με τον περιορισμό $1000 \geq X_{1} , X_{2} ,..., X_{10} \geq 1 $
Η οποία μπορεί ισοδύναμα να γραφεί:
$ X_{1} +X_{2} +...+ X_{10} + X_{11}=1000$, (X11>=0)
Επειδή $ X_{1}, X_{2},..., X_{10}$ θετικοί ακέραιοι (>=1) πρέπει να τους μετατρέψουμε σε μη αρνητικούς ακέραιους (>=0) για να γίνει εφαρμογή του ενδεδειγμένου από την θεωρία τύπου.
Θέτω $ Y_{1}= X_{1}-1, Y_{2}= X_{2}-1,..., Y_{10}= X_{10}-1, Y_{11}= X_{11}$ (ο Χ11 >=0) και η εξίσωση γίνεται
$ Y_{1}+1 +Y_{2}+1 +...+ Y_{10}+1 + Y_{11}=1000$
=> $ Y_{1} +Y_{2}+...+ Y_{10}+ Y_{11}=1000-10=990$
Οι μη αρνητικές λύσεις της παραπάνω εξίσωσης είναι:
[11,990]=$\begin{pmatrix}11+990-1\\11-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1000 \\10 \end{pmatrix}$ =
=$\frac{1000!}{10!990!}$
αντίστοιχα του παραδείγματος Χ1+Χ2+Χ3+Χ4<=10
Υ1+1+Υ2+1+Υ3+1+Υ4+1+Υ5=10 =>Υ1+Υ2+Υ3+Υ4+Υ5=10-4=6
(5+6-1,5-1)=(10,4)=210