▪ Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων

Θεώρημα I

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα

Απόδειξη

Έστω δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' με A = A' = 90°, ΒΓ = Β'Γ' και B = B'.

Θα αποδείξουμε ότι είναι και ΑΒ = Α'Β'. Έστω ότι ΑΒ ≠ Α'Β' , π.χ. ΑΒ > Α'Β'. Τότε στην πλευρά ΒΑ υπάρχει σημείο Δ, ώστε ΒΔ = Α'Β'.

Θεώρημα II

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα

Απόδειξη

Έστω δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' με A = A' = 90°, ΒΓ = Β'Γ' και ΑΒ = Α'Β'. Θα αποδείξουμε ότι και B = B'. Στις προεκτάσεις των ΒΑ και Β'Α' θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία Δ και Δ', ώστε να είναι ΑΔ = ΑΒ και Α'Δ' = Α'Β'. Τότε η ΓΑ είναι μεσοκάθετος του ΔΒ και η Γ'Α' μεσοκάθετος του Δ'Β'. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι ΓΔ = ΓΒ και Γ'Δ' = Γ'Β'. Από τις τελευταίες ισότητες και την ΒΓ = Β'Γ' προκύπτει ότι ΓΔ = Γ'Δ'. Έτσι τα τρίγωνα ΓΔΒ και Γ'Δ'Β' έχουν ΓΔ = Γ'Δ', ΒΓ = Β'Γ' και ΔΒ = Δ'Β' (ως διπλάσια των ίσων τμημάτων ΑΒ και Α'Β'), επομένως είναι ίσα, οπότε B = B'. Τότε και τα αρχικά τρίγωνα είναι ίσα (Π-Γ-Π).

Από το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας της Α΄ - Β΄ Λυκείου.