▪ Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Αρχιμήδης" 1996

Έστω τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ και $\Delta ,{\rm E},{\rm Z},{\rm H},\Theta$ είναι τα μέσα των ${\rm B}\Gamma ,{\rm A}\Delta ,{\rm B}\Delta ,{\rm E}\Delta ,{\rm E}{\rm Z}$ αντιστοίχως. Αν ${\rm I}$ είναι το σημείο τομής των ${\rm B}{\rm E}$ και ${\rm A}\Gamma$ και ${\rm K}$ είναι το σημείο τομής των ${\rm H}\Theta$ και ${\rm A}\Gamma$, να δείξετε ότι:  

α) ${\rm A}{\rm K}=3\Gamma {\rm K}$
β) ${\rm H}{\rm K}=3{\rm H}\Theta$
γ) ${\rm B}{\rm E}=3{\rm E}{\rm I}$
δ) $({\rm E}\Theta {\rm H})$ =$\frac{1}{32}({\rm A}{\rm B}\Gamma )$.

Ε.Μ.Ε - «Αρχιμήδης» (μικροί) 1996

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ και ${\rm H}$ το σημείο τομής των υψών του ${\rm A}\Delta ,{\rm B}{\rm E}$ και $\Gamma {\rm Z}$. Αν ${\rm I}{\rm A}$ και ${\rm A}\Theta$ έιναι η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος του ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ και ${\rm M},{\rm N}$ τα μέσα των ${\rm B}\Gamma$ και ${\rm A}{\rm H}$, να αποδείξετε ότι: 

α) η ${\rm M}{\rm N}$ είναι κάθετη στην ${\rm E}{\rm Z}$ 

β) αν η ${\rm M}{\rm N}$ τέμνει τις ${\rm I}{\rm A},{\rm A}\Theta$ στα σημεία ${\rm K},\Lambda$ αντιστοίχως, τότε ${\rm K}\Lambda ={\rm A}{\rm H}$.

Ε.Μ.Ε - «Αρχιμήδης» (μεγάλοι) 1996