1. Έστω κυρτό τετράπλευρο $ΑΒΓΔ$ και σημεία $Κ, Λ, Μ, Ν$ των πλευρών του $ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ$ αντιστοίχως. Αν το τετράπλευρο $ΚΛΜΝ$ έχει την ελάχιστη περίμετρο, να αποδείξετε ότι:
$ΑΒ\cdot{ΓΔ} + ΒΓ\cdot{ΑΔ} = ΑΓ\cdot{ΒΔ}$.
2. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο $ΑΒΓ$, ($\angle{A}=90^0$) και $Δ, Ε$ και $Ζ$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου του κύκλου με τις πλευρές $ΒΓ, ΓΑ$ και $ΑΒ$ αντιστοίχως. Αν $Ι$ είναι το έκκεντρο του τριγώνου $ΑΒΓ$ και η $ΒΙ$ τέμνει την $ΔΕ$ στο σημείο $Κ$, η $ΖΚ$ τέμνει την $ΑΓ$ στο σημείο $Μ$, η $ΓΙ$ τέμνει την $ΔΖ$ στο σημείο $Λ$ και η $ΕΛ$ τέμνει την $ΑΒ$ στο σημείο $Ν$, να αποδείξετε ότι $ΒΝ = ΓΜ$.
Ε.Μ.Ε - «Αρχιμήδης» (μεγάλοι) 1995
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου