▪ Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Αρχιμήδης" 1995

1. Έστω κυρτό τετράπλευρο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ και σημεία ${\rm K},\Lambda ,{\rm M},{\rm N}$ των πλευρών του ${\rm A}{\rm B},{\rm B}\Gamma ,\Gamma \Delta ,\Delta {\rm A}$ αντιστοίχως. Αν το τετράπλευρο ${\rm K}\Lambda {\rm M}{\rm N}$ έχει την ελάχιστη περίμετρο, να αποδείξετε ότι: 

${\rm A}{\rm B}\cdot \Gamma \Delta +{\rm B}\Gamma \cdot {\rm A}\Delta ={\rm A}\Gamma \cdot {\rm B}\Delta$. 

2. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$, ($\mathrm{\angle }A={90}^0$) και $\Delta ,{\rm E}$ και ${\rm Z}$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου του κύκλου με τις πλευρές ${\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A}$ και ${\rm A}{\rm B}$ αντιστοίχως. Αν ${\rm I}$ είναι το έκκεντρο του τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ και η ${\rm B}{\rm I}$ τέμνει την $\Delta {\rm E}$ στο σημείο ${\rm K}$, η ${\rm Z}{\rm K}$ τέμνει την ${\rm A}\Gamma$ στο σημείο ${\rm M}$, η $\Gamma {\rm I}$ τέμνει την $\Delta {\rm Z}$ στο σημείο $\Lambda$ και η ${\rm E}\Lambda$ τέμνει την ${\rm A}{\rm B}$ στο σημείο ${\rm N}$, να αποδείξετε ότι ${\rm B}{\rm N}=\Gamma {\rm M}$. 

Ε.Μ.Ε - «Αρχιμήδης» (μεγάλοι) 1995