▪ Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Αρχιμήδης" 1994

1. Τρεις κύκλοι $(C_1,{\rho }_1),(C_2,{\rho }_2),(C_3,{\rho }_3)$ εφάπτονται ανά δύο εξωτερικά. Αν $\rho$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$, να αποδείξετε ότι:

$\sqrt{\frac{{\rho }_1\cdot {\rho }_2\cdot {\rho }_3}{{\rho }_1+{\rho }_2+{\rho }_3}}$=$\rho$.

2. Ο εγγεγραμμένος κύκλος $({\rm I},\rho )$ του ορθογωνίου τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$, ($\mathrm{\angle }{\rm A}={90}^0$) εφάπτεται στις πλευρές ${\rm A}{\rm B},{\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A}$ στα σημεία $\Delta ,{\rm E},{\rm Z}$ αντιστοίχως. Αν η ευθεία ${\rm B}{\rm I}$ τέμνει την ευθεία ${\rm E}{\rm Z}$ στο σημείο ${\rm K}$, η ευθεία $\Delta {\rm K}$ τέμνει την ευθεία ${\rm A}\Gamma$ στο σημείο $\Lambda$, η ευθεία $\Gamma {\rm I}$ τέμνει την ευθεία $\Delta {\rm E}$ στο σημείο ${\rm M}$ και η ευθεία ${\rm Z}{\rm M}$ τέμνει την ευθεία ${\rm A}{\rm B}$ στο σημείο ${\rm N}$, τότε να αποδείξετε ότι ${\rm B}{\rm N}=\Gamma \Lambda$.

Ε.Μ.Ε - «Αρχιμήδης» (μεγάλοι) 1994