Διαγωνισμός Επιλογής Εθνικής ομάδας 1991

1. Έστω $PQRS$ ρόμβος εγγεγραμμένος σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $ABCD$ έτσι ώστε οι κορυφές του $P,Q,R,S$ να είναι εσωτερικά σημεία των πλευρών $AB,BC,CD$ και $DA$ αντιστοίχως. Αν ${\rm P}{\rm B}=15,{\rm B}Q=20,PR=30,QS=40$ και  είναι η περίμετρος του $ABCD$, τότε να βρείτε το άθροισμα $m+n$, όπου $m,n$ αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους και $n>0$. 

2. Έστω ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $ABCD$ με ${\rm A}{\rm B}=4$ και $CB=3$. Διαιρούμε την πλευρά ${\rm A}{\rm B}$ σε $168$ ίσα τμήματα με σημεία ${\rm A}={{\rm P}}_0,{{\rm P}}_1,{{\rm P}}_2,\dots ..,{{\rm P}}_{168}={\rm B}$ και διαιρούμε την πλευρά $CB$ σε $168$ ίσα τμήματα με σημεία $C=Q_0,Q_1,Q_2,..\dots ..,Q_{168}=B$. Φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ${{\rm P}}_k{Q}_k,1\le k\le 167$. Διαιρούμε στη συνέχεια τις πλευρές $AD$ και $CD$ και φέρουμε τη διαγώνιο $AC$. Να βρείτε το άθροισμα των μηκών των $335$ παραλλήλων τμημάτων που κατασκευάστηκαν με αυτόν τον τρόπο.

Ε.Μ.Ε - Διαγωνισμός Επιλογής Εθνικής ομάδας 1991