▪Διαγωνισμός επιλογής Εθνικής ομάδας 1987

1. Έστω τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ και μία ευθεία $\epsilon$ που τέμνει τις πλευρές ${\rm A}{\rm B}$ και ${\rm A}\Gamma$ στα σημεία $\Delta$ και ${\rm E}$ αντιστοίχως. Αν το εμβαδόν του τριγώνου ${\rm A}\Delta {\rm E}$ είναι ίσο με το εμβαδόν του τετραπλεύρου $\Delta {\rm B}\Gamma {\rm E}$, τότε να δείξετε ότι:

$\frac{{\rm A}\Delta +{\rm A}{\rm E}}{\Delta {\rm B}+{\rm B}\Gamma +\Gamma {\rm E}}>\frac{1}{3}$.

2. Έστω τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ και σημείο ${\rm P}$ στο εσωτερικό του. Αν ${\delta }_{\alpha },{\delta }_{\beta },{\delta }_{\gamma }$ είναι οι αποστάσεις του σημείου $P$ από τις πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma$ αντιστοίχως και ${\rho }_{\alpha },{\rho }_{\beta },{\rho }_{\gamma }$ οι αποστάσεις του σημείου ${\rm P}$ από τις κορυφές ${\rm A},{\rm B},\Gamma$ του τριγώνου αντιστοίχως, τότε να αποδείξετε ότι:

i) $\alpha \cdot {\rho }_{\alpha }\ge \beta \cdot {\delta }_{\beta }+\gamma \cdot {\delta }_{\gamma }$
ii) ${\rho }_{\alpha }+{\rho }_{\beta }+{\rho }_{\gamma }\ge 2({\delta }_{\alpha }+{\delta }_{\beta }+{\delta }_{\gamma })$.

Ε.Μ.Ε - Διαγωνισμός Επιλογής Εθνικής ομάδας 1987