Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [13]

 Του Νίκου Σούρμπη  

Έστω οι συναρτήσεις 

$f(x)=x^4-2\alpha x^3+6x^2+2x+1$ 

και 

$g(x)=-e^{x^2-1}+4x$ 

με $A=\mathbb{R}$ και $\alpha \in (-2,2)$. 

α) Να δείξετε ότι η $f$ είναι κυρτή στο $\mathbb{R}$ και έχει ελάχιστη τιμή στη θέση $x_0\in (-1,0)$. 

β) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της $f$ στο $M(0,f(0))$ εφάπτεται στην συνάρτηση $g$. 

γ) Να βρείτε το πλήθος ριζών της εξίσωσης 

$2f(x)e^{f^2(x)-1}=4-g^{\prime }(x_0)$. 

δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση $$e^x{\int }_0^{1}f(t)dt+(x-1){\int }_0^{1}g(t)dt=2e(5-\alpha )x$$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο $(0,1)$.

Πολλά τετράγωνα

Όλα τα χρωματισμένα τετράγωνα είναι ίσα. Να βρεθεί η πλευρά του μεγάλου τετραγώνου.

Τρεις κύκλου

Οι κύκλοι στο παρακάτω σχήμα έχουν ακτίνα $1$. Να βρεθεί το εμβαδόν του ορθογωνίου.

Δύο και δύο

Στο παρακάτω σχήμα, έχουμε $2$ τετράγωνα και $2$ τρίγωνα. 

Να βρεθεί το εμβαδόν του κόκκινου τριγώνου.

Εύρεση ριζών εξίσωσης

Δίνονται οι διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί $a_1,a_2,a_3$​ και $b$. Δεδομένου ότι η εξίσωση: 

$(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)=b$ 

έχει τρεις διαφορετικές πραγματικές ρίζες $c_1,c_2,c_3$, να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης:

$(x+c_1)(x+c_2)(x+c_3)=b.$

Kvant 2023,3

Το Πρόβλημα του Ακέραιου Παραλληλεππιπέδου

Βρείτε τις διαστάσεις ενός παραλληλεπίπεδου με μήκη ακμών $a,b,c$, έτσι ώστε η απόσταση μεταξύ κάθε ζεύγους κορυφών να είναι ακέραιος αριθμός.

Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρείτε θετικούς ακέραιους αριθμούς $a,b,c$ ώστε οι διαγώνιες των τριών ορθογώνιων εδρών:

$d=\sqrt{a^2+b^2}$

$e=\sqrt{a^2+c^2}$

$f=\sqrt{b^2+c^2}$

και η χωρική (κύρια) διαγώνιος:

$g^2=a^2+b^2+c^2$

να είναι επίσης ακέραιοι αριθμοί.

Με άλλα λόγια, ζητείται ένα "ακέραιο παραλληλεπίπεδο", στο οποίο όλα τα μήκη — ακμές και διαγώνιες — να είναι ακέραιοι αριθμοί.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικά Θέματα από το digitalschool.gov [2]

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x)=2\ln x+x,x>0$. 

α) Να αποδείξετε ότι αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$. 

β) Να λύσετε την ανίσωση 

$f^{-1}(x)>x$. 

γ) Έστω $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ μια συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει 

$g(x)=e^{f(|x|)}$ 

για κάθε $x\ne 0$. 

i. Να αποδείξετε ότι 

$g(x)=x^2{e}^{|x|},x\in \mathbb{R}$. 

ii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την $C_g$, τον άξονα $x^{\prime }x$ και τις κατακόρυφες ευθείες $x=-1,x=1$. 

Rubik’s Cube