Άλμπερτ Αϊνστάιν: "Δεν μπορούμε να λύσουμε τα προβλήματά μας με την ίδια σκέψη που χρησιμοποιήσαμε όταν τα δημιουργήσαμε"

Πλήθος ριζών

Θεωρήστε την ακόλουθη εξίσωση (σε ακτίνια): $$sin(109x) = 0,1$$

Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης, στο διάστημα $0 ≤ x ≤ 325$.

Εύρεση γωνίας [58]

Να βρεθεί η ζητούμενη γωνία.

Τρία χρώματα

Στο νησί ζουν κόκκινοι, μπλε και πράσινοι χαμαιλέοντες. Μια μέρα $35$ χαμαιλέοντες στάθηκαν σε έναν κύκλο. Μετά από ένα λεπτό, όλοι τους άλλαξαν ταυτόχρονα χρώμα, ο καθένας στο χρώμα ενός από τους γείτονές τους. 

Μετά από άλλο ένα λεπτό, πάλι όλοι τους άλλαξαν ταυτόχρονα χρώμα στο χρώμα ενός από τους γείτονές τους. Είναι δυνατόν με βάση αυτές τις αλλαγές κάθε χαμαιλέοντας να έγινε και από τα τρία χρώματα (κόκκινος, μπλε και πράσινος);

THEOREM OF THE DAY: The Small Prime Gaps Theorem

Click on the image.

Ο «τυχαίος» αριθμός 37

Όταν τους ζητείται από τους ανθρώπους να επιλέξουν έναν τυχαίο αριθμό, οι άνθρωποι συχνά δυσκολεύονται να επιλέξουν έναν πραγματικά τυχαίο αριθμό. Είναι ενδιαφέρον ότι πολλοί τείνουν να επιλέγουν τους ίδιους αριθμούς, και ο αριθμός $37$ είναι μια αρκετά κοινή επιλογή σε τέτοιες επιλογές. 

Για τον αριθμό 37 έχει καταγραφεί σε διάφορες ανεπίσημες έρευνες και ψυχολογικά πειράματα ότι όντως αυτό συμβαίνει. Αυτό μπορεί να εξηγηθεί από διάφορους λόγους:

• Αποφυγή άκρων: Οι άνθρωποι αποφεύγουν αριθμούς που θεωρούνται "πολύ προφανείς", όπως το 1, το 100, ή ακόμα και οι στρογγυλοί αριθμοί (π.χ. 50).
• Ασυμμετρία: Ο αριθμός 37 δεν είναι πολλαπλάσιο του 5 ή του 10, ούτε συμμετρικός, κάτι που τον κάνει να φαίνεται πιο "τυχαίος".

Τι είναι η μαθηματική μοντελοποίηση;

Για να εφαρμόσουν τα μαθηματικά στον πραγματικό κόσμο, οι μαθηματικοί πρέπει να συνεργαστούν με επιστήμονες και μηχανικούς, να μετατρέψουν τα προβλήματα της πραγματικής ζωής σε μαθηματικά και στη συνέχεια να λύσουν τις εξισώσεις που προκύπτουν. Αυτή τη διαδικασία ονομάζουμε μαθηματική μοντελοποίηση.

Οι βασικές ιδέες πίσω από τη μαθηματική μοντελοποίηση

Η μαθηματική μοντελοποίηση είναι η διαδικασία περιγραφής ενός προβλήματος του πραγματικού κόσμου με μαθηματικούς όρους, συνήθως με τη μορφή εξισώσεων, και στη συνέχεια με τη χρήση αυτών των εξισώσεων τόσο για την κατανόηση του αρχικού προβλήματος όσο και για την ανακάλυψη νέων χαρακτηριστικών σχετικά με το πρόβλημα.

[32] - Algebraic Systems for Contests

Να λυθεί το σύστημα:

THEOREM OF THE DAY: Catalan’s Conjecture (Mihailescu’s Theorem)

Let $x, y, p, q$ be positive integers satisfying $x^ p − y^ q = 1$. Then $x = q = 3$ and $y = p = 2$.

Click on the image.

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N} n^3= \big( \displaystyle\sum_{n=1}^{N} n\big)^2 $

Αποδείξεις χωρίς λόγια.