Ο «τυχαίος» αριθμός 37

Όταν τους ζητείται από τους ανθρώπους να επιλέξουν έναν τυχαίο αριθμό, οι άνθρωποι συχνά δυσκολεύονται να επιλέξουν έναν πραγματικά τυχαίο αριθμό. Είναι ενδιαφέρον ότι πολλοί τείνουν να επιλέγουν τους ίδιους αριθμούς, και ο αριθμός $37$ είναι μια αρκετά κοινή επιλογή σε τέτοιες επιλογές. 

Για τον αριθμό 37 έχει καταγραφεί σε διάφορες ανεπίσημες έρευνες και ψυχολογικά πειράματα ότι όντως αυτό συμβαίνει. Αυτό μπορεί να εξηγηθεί από διάφορους λόγους:

• Αποφυγή άκρων: Οι άνθρωποι αποφεύγουν αριθμούς που θεωρούνται "πολύ προφανείς", όπως το 1, το 100, ή ακόμα και οι στρογγυλοί αριθμοί (π.χ. 50).
• Ασυμμετρία: Ο αριθμός 37 δεν είναι πολλαπλάσιο του 5 ή του 10, ούτε συμμετρικός, κάτι που τον κάνει να φαίνεται πιο "τυχαίος".

Τι είναι η μαθηματική μοντελοποίηση;

Για να εφαρμόσουν τα μαθηματικά στον πραγματικό κόσμο, οι μαθηματικοί πρέπει να συνεργαστούν με επιστήμονες και μηχανικούς, να μετατρέψουν τα προβλήματα της πραγματικής ζωής σε μαθηματικά και στη συνέχεια να λύσουν τις εξισώσεις που προκύπτουν. Αυτή τη διαδικασία ονομάζουμε μαθηματική μοντελοποίηση.

Οι βασικές ιδέες πίσω από τη μαθηματική μοντελοποίηση

Η μαθηματική μοντελοποίηση είναι η διαδικασία περιγραφής ενός προβλήματος του πραγματικού κόσμου με μαθηματικούς όρους, συνήθως με τη μορφή εξισώσεων, και στη συνέχεια με τη χρήση αυτών των εξισώσεων τόσο για την κατανόηση του αρχικού προβλήματος όσο και για την ανακάλυψη νέων χαρακτηριστικών σχετικά με το πρόβλημα.

[32] - Algebraic Systems for Contests

Να λυθεί το σύστημα:

THEOREM OF THE DAY: Catalan’s Conjecture (Mihailescu’s Theorem)

Let $x, y, p, q$ be positive integers satisfying $x^ p − y^ q = 1$. Then $x = q = 3$ and $y = p = 2$.

Click on the image.

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N} n^3= \big( \displaystyle\sum_{n=1}^{N} n\big)^2 $

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

365 γενέθλια

Να βρεθεί η πιθανότητα ώστε $365$ άτομα να έχουν διαφορετική ημερομηνία γενεθλίων ο καθένας.

Αριθμογρίφος Νο 421

Να βρεθεί ο αριθμός που λείπει.

Εύρεση γωνίας [57]

Να βρεθεί ο $χ$.

Εσωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι

Δίδεται κύκλος κέντρου $O$, ευθεία που δεν διέρχεται από το $O$ και σημείο $S$ μέσα στον κύκλο διαφορετικό από το $O$.

Να κατασκευαστεί κύκλος, διερχόμενος από το $S$ και να εφάπτεται του δεδομένου κύκλου και της δεδομένης ευθείας. Διερεύνηση.

Πηγή: mathematica

Ακτίνα του μεγάλου

Το σχήμα δείχνει τέσσερις κύκλους. Ο μεγαλύτερος κύκλος τέμνει τους άλλους τρεις κύκλους, αλλά κανένας από τους μικρότερους κύκλους δεν τέμνεται. Οι ακτίνες των τριών μικρότερων κύκλων είναι $2, 2$ και $1$. 

Το άθροισμα των εμβαδών τριών μπλε περιοχών έξω από τον μεγαλύτερο κύκλο είναι το ίδιο με το εμβαδόνς της κίτρινης περιοχής που βρίσκεται μέσα στον μεγαλύτερο κύκλο αλλά όχι μέσα σε κανέναν από τους τρεις μικρότερους κύκλους.

Ποια είναι η ακτίνα του μεγαλύτερου κύκλου;