Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [13]

 Του Νίκου Σούρμπη  

Έστω οι συναρτήσεις 

$f(x)=x^4-2\alpha x^3+6x^2+2x+1$ 

και 

$g(x)=-e^{x^2-1}+4x$ 

με $A=\mathbb{R}$ και $\alpha \in (-2,2)$. 

α) Να δείξετε ότι η $f$ είναι κυρτή στο $\mathbb{R}$ και έχει ελάχιστη τιμή στη θέση $x_0\in (-1,0)$. 

β) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της $f$ στο $M(0,f(0))$ εφάπτεται στην συνάρτηση $g$. 

γ) Να βρείτε το πλήθος ριζών της εξίσωσης 

$2f(x)e^{f^2(x)-1}=4-g^{\prime }(x_0)$. 

δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση $$e^x{\int }_0^{1}f(t)dt+(x-1){\int }_0^{1}g(t)dt=2e(5-\alpha )x$$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο $(0,1)$.

Σάρωση για να αποθηκεύσετε ή να κοινοποιήσετε την ανάρτηση