Για να το κατανοήσουμε καλύτερα, ας δούμε αναλυτικά τα βήματα:
-
Συστήματα με "σωματίδια" και ορμή: Η βασική ιδέα είναι να φανταστούμε τα δείγματα ως σωματίδια που κινούνται σε έναν χώρο, όπου η θέση τους αντιστοιχεί στις παραμέτρους της κατανομής που θέλουμε να δειγματοληπτήσουμε.
Η προσθήκη της ορμής ως βοηθητικής μεταβλητής επιτρέπει στα σωματίδια να κινούνται δυναμικά σε αυτόν τον χώρο. -
Εξισώσεις του Hamilton: Οι εξισώσεις αυτές καθορίζουν τη δυναμική του συστήματος. Περιγράφουν πώς η ορμή και η θέση των σωματιδίων εξελίσσονται με το χρόνο και καθορίζουν τη "διαδρομή" του δείγματος στον χώρο των παραμέτρων.
-
Hamiltonian (Συνάρτηση Ενέργειας): Η Hamiltonian συνάρτηση ενσωματώνει την κατανομή-στόχο μέσω της δυναμικής ενέργειας, η οποία είναι συνδεδεμένη με την κατανομή πιθανοτήτων της κατανομής-στόχου μέσω του αρνητικού λογαρίθμου της πυκνότητας πιθανότητας. Η κινητική ενέργεια συνδέεται με την ορμή και συχνά ορίζεται ως μια τετραγωνική μορφή (π.χ. Gaussian).
-
Αριθμητική ολοκλήρωση (Leapfrog scheme): Για να προσομοιώσουμε την κίνηση των σωματιδίων, χρησιμοποιείται αριθμητική ολοκλήρωση, συχνά το σχήμα Leapfrog. Αυτό επιτρέπει την ανανέωση των τροχιών των σωματιδίων και τη συνεχιζόμενη εξερεύνηση του χώρου των παραμέτρων με αποτελεσματικότητα, αποφεύγοντας τις τυχαίες κινήσεις που παρατηρούνται σε άλλες μεθόδους.
-
Πλεονεκτήματα για σύνθετες κατανομές: Το HMC είναι εξαιρετικά χρήσιμο για κατανομές υψηλών διαστάσεων, όπως αυτές που συναντάμε σε Bayesian μοντέλα, επειδή επιτρέπει την πιο στοχευμένη εξερεύνηση του χώρου των παραμέτρων χωρίς την ανάγκη για υπερβολικό αριθμό βημάτων.
Αυτός ο συνδυασμός φυσικής και υπολογιστικής δειγματοληψίας καθιστά το HMC έναν ισχυρό εργαλείο για πολύπλοκες αναλύσεις, όπως αυτές που συναντάμε σε τομείς όπως η Στατιστική, η Μηχανική Μάθηση, και η Ανάλυση Δεδομένων.
