Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά

 Του Δημήτρη Σπαθάρα 

Δ1) Να δείξετε ότι η εξίσωση $e^x={\displaystyle \frac{1}{x}}$ έχει μοναδική ρίζα $x_0$ στο διάστημα $(0,1)$.

Στα παρακάτω ερωτήματα να θεωρήσετε ότι το $x_0$ είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης $e^x={\displaystyle \frac{1}{x}}$ του ερωτήματος Δ1 και η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ έχει τύπο

 $f(x)=e^{x_0}(x+1)-e^x-1$.

Δ2) Να δείξετε ότι η συνάρτηση $f$ παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο $x_0$, το $f(x_0)=0$.

Δ3) Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις 

$g(x)=x_0+\ln (x+1)$, $x>-1$ 

και 

$h(x)=\ln (e^x+1)$, $x\in \mathbb{R}$ 

έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, στο οποίο έχουν κοινή εφαπτομένη.

Δ4) Έστω η συνεχής συνάρτηση $\varphi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ με $\varphi (x)>f(x)$, για κάθε $x\in \mathbb{R}$. Θεωρούμε τα σημεία $A(x,f(x))$ και $B(x,\varphi (x))$, με $x\in \mathbb{R}$. Αν η απόσταση των σημείων $A$ και $B$ γίνεται ελάχιστη στο $x=x_0$, να δείξετε ότι το $x_0$ είναι κρίσιμο σημείο της συνάρτησης $\varphi$.