Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικάm [3]

 Του Γιώργου Μιχαηλίδη  

Δίνεται η συνάρτηση $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ με τύπο: $$f(x)=e^{x-1}-\ln x$$ 2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να αποδείξετε ότι είναι κυρτή. 

3. Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου $k\in (1,+\mathrm{\infty })$ να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης: $$f(x)f(k+1)=f(e^k)$$ 4. Θεωρούμε επιπλέον την ευθεία $ϵ$ με εξίσωση $\psi =x$. Να αποδείξετε ότι η $C_f$ έχει ακριβώς δύο κοινά σημεία με την $ϵ$, τα $A(1,1)$ και $B(a,a)$, όπου $a>1$. 

5. Να αποδείξετε ότι: 

(i) Υπάρχει μοναδικό $x_1\in (1,a)$, ώστε $f^{\prime }(x_1)=1$ 

(ii) $f(x_1)<x_1$ 

6. Για τον αριθμό $a$ του ερωτήματος Δ3 να αποδείξετε ότι: $${\int }_1^a\ln f(x)dx<{\displaystyle \frac{(a-1{)}^2}{2}}$$