Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [2]

 Του Γιάννη Τσομπανόπουλου  

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x)=x{e}^x-\ln x$, $x>0$.

i) Να δείξετε ότι η $C_f$ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο σε κάποιο $x_0\in (0,1)$.

ii) Να δείξετε ότι η μοναδική ρίζα τηε εξίσωσης $$x+\ln x=-\ln (x+1),x>0$$ είναι το $x_0$ του ερωτήματος i).

iii) Νa δείξετε ότι $${\displaystyle \frac{1-x_0}{2}}(1+ln2)<{\int }_{x_0}^1[x+\ln x+\ln (x+1)]dx<{\displaystyle \frac{(1+\ln 2{)}^2}{5}}$$

iv) Έστω $g(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{3}{2}}+\ln 2-\ln x-\ln (x+1)$, $x>0$. 

Να δείξετε ότι εξίσωση $${\int }_{x_0}^{1}g(x)dx=G(x)-G(1)$$- όπου $G$ μία παράγουσα της $g$ - έχει μοναδική λύση στο διάστημα $(1,+\infty )$