4 Γεωμετρικά Προβλήματα με Κύκλους και Πολύγωνα

Πρόβλημα 1

Να αποδειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο $ABC$ και για κάθε κύκλο $O$ που είναι εφαπτόμενος στις πλευρές $AB$ και $AC$, ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $BFC$ και ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $ABC$ είναι εφαπτόμενοι στην πλευρά $BC$ στο ίδιο σημείο.

Πρόβλημα 2

Να αποδειχθεί ότι αν οι κύκλοι $O_1$ και $O_2$ είναι ίσοι και εφαπτόμενοι ο ένας στον άλλο και στις πλευρές του τετραγώνου $ABCD$, όπως φαίνεται στο σχήμα, τότε ο κύκλος $O_3$ είναι του ίδιου μεγέθους και αυτός.

Πρόβλημα 3

Τρεις κύκλοι, ο καθένας με ακτίνα $r$, είναι εγγεγραμμένοι σε ένα τετράγωνο με βάση $a,$ όπως φαίνεται στο σχήμα. Να βρεθεί  το $r$,συναρτήσει του $a$.

Πρόβλημα 4

Τέσσερις κύκλοι, ο καθένας με ακτίνα $r$, είναι εγγεγραμμένοι σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με βάση $a$, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να βρεθεί το $r$, συναρτήσει του $a$.