Ο Κανόνας του Cramer: Λύση Γραμμικών Συστημάτων

Κανόνας του Cramer

Ο κανόνας του Cramer χρησιμοποιείται για τη λύση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων. 

Έστω το σύστημα: 

$a_{1}x+b_{1}y=c_1$

$a_{2}x+b_{2}y=c_2$ 

Βήματα 

1. Υπολογισμός της ορίζουσας του $D$: $$D=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|=a_1{b}_2-a_2{b}_1$$ 2. Υπολογισμός της ορίζουσας $D_x$: $$D_x=\left|\begin{array}{cc}{c}_1& b_1\\ c_2& b_2\end{array}\right|=c_1{b}_2-c_2{b}_1$$ 3. Υπολογισμός ττης ορίζουσας $D_y$: $$D_y=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& c_1\\ a_2& c_2\end{array}\right|=a_1{c}_2-a_2{c}_1$$ 4. Οι λύσεις του αυστήματος είναι: $$x=\frac{D_x}{D},y=\frac{D_y}{D}$$ (υπό την προϋπόθεση ότι $D\ne 0$). 

Παράδειγμα

Έστω το σύστημα: $$\{\begin{array}{l}2x+3y=8\\ 4x-y=7\end{array}$$ Υπολογίζουμε: 

$D=\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& -1\end{array}\right|=2(-1)-4(3)=-2-12=-14$ $D_x=\left|\begin{array}{cc}8& 3\\ 7& -1\end{array}\right|=8(-1)-7(3)=-8-21=-29$ $D_y=\left|\begin{array}{cc}2& 8\\ 4& 7\end{array}\right|=2(7)-4(8)=14-32=-18$ 

Άρα: $$x=\frac{D_x}{D}=\frac{-29}{-14}=\frac{29}{14},y=\frac{D_y}{D}=\frac{-18}{-14}=\frac{9}{7}$$ Η λύση είναι $x={\displaystyle \frac{29}{14}}$, $y={\displaystyle \frac{9}{7}}$.