Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2006

Πρόβλημα 1

α) Είναι δυνατόν να τοποθετήσουμε τους αριθμούς $1,2,\dots ,13$ κυκλικά έτσι, ώστε το άθροισμα οποιωνδήποτε γειτονικών αριθμών να είναι πρώτος αριθμός;

β) Είναι δυνατόν να το ίδιο με τους αριθμούς $1,2,\dots ,16$;

Πρόβλημα 2

Έστω $a,b,c$ θετικοί ακέραιοι αριθμοί τέτοιοι ώστε οι αριθμοί $$k=b^c+a,\lambda =a^b+c,\mu =c^a+b$$ να είναι πρώτοι. Να αποδειχθεί ότι τουλάχιστον δύο από τους αριθμούς $k,\lambda ,\mu$ είναι ίσοι.

Πρόβλημα 3

Να υπολογισθεί το μήκος $A$ τριγώνου $ABC$, όταν δίνονται ότι τα ύψη του $BA$ και $\Gamma E$ τέμνονται στο σημείο $H$ του εσωτερικού του τριγώνου και ισχύουν 

$BH=2BA$ και $HE=HG$.

Πρόβλημα 4

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης $$K(x,y)=16\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{x}-\sqrt{xy},$$ όπου $x,y$ παίρνουν όλες τις επιτρεπόμενες πραγματικές τιμές.

Πηγή: mathematica