83ος Μαθηματικός Διαγωνισμός ''ΘΑΛΗΣ'' 2022 - Συμπληρωματικός Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

Ο Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά ''Ο Θαλής'' για τη σχολική χρονιά 2022-2023 διεξήχθη εντός των σχολικών μονάδων στις $11$ Νοεμβρίου $2022$. 

Λόγω μιας τοπικής αργίας οι περιοχές Χίου και Καστοριάς δεν έλαβαν μέρος. Για αυτές τις δύο περιοχές δόθηκαν άλλα θέματα στις $12$ Νοεμβρίου $2022$. 

Πρόβλημα 1 (Μονάδες 6) 

Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς $x,y$ που ικανοποιούν την εξίσωση

 $25x^2+8y^2-20xy-10x-12y+17=0$. 

Πρόβλημα 2 (Μονάδες 7) 

τραπέζιο $AB\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ τέτοιο ώστε $AB\parallel \mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ και $B\mathrm{\Gamma }=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$. Επίσης, αν $E$ το σημείο τομής των διαγωνίων του, ισχύει ότι A\Delta=AE. Oι μη παράλληλες πλευρές του $A\mathrm{\Delta }$ και $B\mathrm{\Gamma }$ τέμνονται στο σημείο $Z$. Nα αποδείξετε ότι $A\mathrm{\Gamma }=\mathrm{\Delta }Z$. 

 Πρόβλημα 3 (Μονάδες 7) 

 Nα προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακέραιους $a,\beta$ για τους οποίους ο αριθμός ${\displaystyle A=\frac{5a+\beta }{2a+\beta }}$ είναι ακέραιος. Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του $A$ ;

Πηγή: mathematica