Ο Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά ''Ο Θαλής'' για τη σχολική χρονιά 2022-2023 διεξήχθη εντός των σχολικών μονάδων στις $11$ Νοεμβρίου $2022$.
.png)
Λόγω μιας τοπικής αργίας οι περιοχές Χίου και Καστοριάς δεν έλαβαν μέρος. Για αυτές τις δύο περιοχές δόθηκαν άλλα θέματα στις $12$ Νοεμβρίου $2022$.
Πρόβλημα 1 (Μονάδες 6) Έστω \(a, b, c\) πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε:
\[
\left( a+b+c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c}\right) = 2022.
\]
Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης:
\[
\frac{\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)}{abc}.
\] Πρόβλημα 2 (Μονάδες 7) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο \(AB\Gamma\) με \(AB = A\Gamma\).
Προεκτείνουμε την πλευρά \(A\Gamma\) προς το μέρος του \(\Gamma\), κατά τμήμα \(\Gamma\Delta = A\Gamma\).
Η διχοτόμος της γωνίας \(\widehat{A}\) τέμνει την πλευρά \(B\Gamma\) στο σημείο \(E\) και το ευθύγραμμο τμήμα \(\Gamma\Delta\) στο σημείο \(Z\).
Να αποδείξετε ότι:
\[
\Delta Z = 2 \cdot Z\Gamma.
\] Πρόβλημα 3 (Μονάδες 7) Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακέραιους \(\mu, \nu\) για τους οποίους ο αριθμός:
\[
A = \frac{\mu + 7\nu}{7\mu + \nu}
\]
είναι ακέραιος.
Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του \(A\);Πηγή: mathematica
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου