83ος Μαθηματικός Διαγωνισμός ''ΘΑΛΗΣ'' 2022 - Συμπληρωματικός Β' ΛΥΚΕΙΟΥ

Ο Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά ''Ο Θαλής'' για τη σχολική χρονιά 2022-2023 διεξήχθη εντός των σχολικών μονάδων στις $11$ Νοεμβρίου $2022$. 

Λόγω μιας τοπικής αργίας οι περιοχές Χίου και Καστοριάς δεν έλαβαν μέρος. Για αυτές τις δύο περιοχές δόθηκαν άλλα θέματα στις $12$ Νοεμβρίου $2022$. 

Πρόβλημα 1 (Μονάδες 6) Έστω $a,b,c$ πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε: $$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=2022.$$ Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης: $$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}.$$ Πρόβλημα 2 (Μονάδες 7) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $AB\mathrm{\Gamma }$ με $AB=A\mathrm{\Gamma }$. Προεκτείνουμε την πλευρά $A\mathrm{\Gamma }$ προς το μέρος του $\mathrm{\Gamma }$, κατά τμήμα $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }=A\mathrm{\Gamma }$. Η διχοτόμος της γωνίας $\hat{A}$ τέμνει την πλευρά $B\mathrm{\Gamma }$ στο σημείο $E$ και το ευθύγραμμο τμήμα $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ στο σημείο $Z$. Να αποδείξετε ότι: $$\mathrm{\Delta }Z=2\cdot Z\mathrm{\Gamma }.$$ Πρόβλημα 3 (Μονάδες 7) Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακέραιους $\mu ,\nu$ για τους οποίους ο αριθμός: $$A=\frac{\mu +7\nu }{7\mu +\nu }$$ είναι ακέραιος. Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του $A$;

Πηγή: mathematica