Οκτώ συναρτησιακές

1. Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f :R^{+} → R^{+}$, αν ισχύει

f(x^2 + f^ 2 (y)) = f(x^2 ) + y^2 .

2. Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f :Z → Z$, αν ισχύει: 

$f(x) + f(y) = f(x + y) − 2xy + 1$ και $f(1) = 0$.

3. Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f : Z → Z$, αν 

$f(x + 2) = 2002 f(x)$ 

για όλα τα $x ∈ Z$ και  $f(8) = f(9) = 2$.

4. Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f : R → R$, για τις οποίες ισχύει

$f(f(x) + y) = yf(x)$ 

για όλα τα $x, y ∈ R$.

5. Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f : R → R$, για τις οποίες ισχύει  

$f(x^2 )−f^2 (y) = (x+y)(f(x)−y)$ 

για όλα τα $x, y ∈ R$.

6. Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f : Z → Z$, αν 

$f(f(x+ 1) +y) = f(x+y) + 1$ 

για όλα τα $x, y ∈ Z$.

7. Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f : R → R$, για τις οποίες ισχύει

$xf(x) + y ≥ f(f ^2 (x) + y) ≥ x^2 + y$ 

για όλα τα $x, y ∈ R$.

8. Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f : N → N$, για τις οποίες ισχύει

$f(f(n) + 1) = n − 3$ 

για κάθε $n ∈ N$.