Οκτώ συναρτησιακές

1. Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f:R^{+}\to R^{+}$, αν ισχύει

f(x^2 + f^ 2 (y)) = f(x^2 ) + y^2 .

2. Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f:Z\to Z$, αν ισχύει: 

$f(x)+f(y)=f(x+y)-2xy+1$ και $f(1)=0$.

3. Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f:Z\to Z$, αν 

$f(x+2)=2002f(x)$ 

για όλα τα $x\in Z$ και  $f(8)=f(9)=2$.

4. Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f:R\to R$, για τις οποίες ισχύει

$f(f(x)+y)=yf(x)$ 

για όλα τα $x,y\in R$.

5. Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f:R\to R$, για τις οποίες ισχύει  

$f(x^2)-f^2(y)=(x+y)(f(x)-y)$ 

για όλα τα $x,y\in R$.

6. Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f:Z\to Z$, αν 

$f(f(x+1)+y)=f(x+y)+1$ 

για όλα τα $x,y\in Z$.

7. Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f:R\to R$, για τις οποίες ισχύει

$xf(x)+y\ge f(f^2(x)+y)\ge x^2+y$ 

για όλα τα $x,y\in R$.

8. Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f:N\to N$, για τις οποίες ισχύει

$f(f(n)+1)=n-3$ 

για κάθε $n\in N$.