Το Θεώρημα Newton

ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω $ABCD$ εγεγραμμένο τετράπλευρο. Οι εφαπτόμενες στον περιγεγραμμένο κύκλο στις κορυφές του τετραπλεύρου σχηματίζουν ένα τετράπλευρο $PQRS$. Δείξτε οι τέσσερις διαγώνιες των δύο τετραπλεύρων συντρέχουν. (Στο σχήμα είναι το σημείο $K$). 

Απόδειξη (Του Μιχάλη Λάμπρου)

Υπάρχουν διάφορες αποδείξεις, οι περισσότερες από τις οποίες στηρίζονται στην θεωρία των πόλων και πολικών ή στην απόρροιά της τα συζυγή αρμονικά σχήματα. Δεν μπαίνω σε τέτοιες αποδείξεις αλλά μπορεί να βρει κανείς έτοιμη την θεωρία σε βιβλία όπως του Μπαρμπαστάθη, Μεγάλη Θεωρητική Γεωμετρία στις σελίδες 288-293. 

Έρχομαι σε απευθείας απόδειξη, με βάση κοινά θεωρήματα που διδάσκονται σήμερα στο Λύκειο.

Έστω ότι η διαγώνιος $AC$ τέμνει την διαγώνιο $PR$ στο $K$. Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα $KAP,KCR$ έχουν τις γωνίες τους $K_1,K_2$ ίσες. Άρα για τα εμβαδά ισχύει 

${\displaystyle \frac{(KAP)}{(KCR)}}={\displaystyle \frac{KA\cdot KP}{KC\cdot KR}}(1)$. 

Περιέργως τα ίδια δύο αυτά τρίγωνα $KAP,KCR$ έχουν τις γωνίες τους $A,C$ παραπληρωματικές: Πράγματι είναι 

$\hat{A}=\widehat{PAB}+\widehat{PAK}=\widehat{ADB}+\widehat{BDR}=\hat{D}$ 

που είναι παραπληρωματική της $\hat{B}$ που με την σειρά της είναι ίση με την $\hat{C}$, όπως θέλαμε. Άρα για τα εμβαδά ισχύει 

${\displaystyle \frac{(KAP)}{(KCR)}}={\displaystyle \frac{AP\cdot AK}{KC\cdot CR}}(2)$ 

Από τις (1),(2) έχουμε 

${\displaystyle \frac{KA\cdot KP}{KC\cdot KR}}={\displaystyle \frac{AP\cdot AK}{KC\cdot CR}}$ 

οπότε μετά τις απλοποιήσεις 

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{KP}{KR}}={\displaystyle \frac{AP}{CR}}}}$ 

Mε τον ίδιο ακριβώς τρόπο δείχνουμε ότι αν η διαγώνιος $BD$ τέμνει την $PR$ στο $K^{\prime }$, τότε

 $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{K^{\prime }P}{K^{\prime }R}}={\displaystyle \frac{BP}{DR}}}}$ 

Αλλά τα δεξιά μέλη των δύο προηγούμενων είναι ίσα διότι $AP=BP$ και $CR=DR$ (ιδιότητα της εφαπτομένης). Έπεται ότι και τα αριστερά μέλη είναι ίσα, οπότε 

${\displaystyle \frac{KP}{KR}}={\displaystyle \frac{K^{\prime }P}{K^{\prime }R}}$. 

Συνεπώς τα $K,K^{\prime }$ συμπίπτουν, που σημαίνει ότι οι διαγώνιες του μέσα τετραπλεύρου τέμνουν την PR στο ίδιο σημείο (οι τρεις συντρέχουν στο $K$). Όμοια και η διαγώνιος $SQ$ διέρχεται από το $K$, και η απόδειξη ολοκληρώνεται.

Πηγή: mathematica