Διαγώνιος παραλληλεπιπέδου

ΘΕΩΡΗΜΑ 

Σε κάθε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο το τετράγωνο της διαγωνίου δ ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των τριών διαστάσεων του ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου, δηλαδή
                                           δ²=α²+β²+γ².

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm A}\Delta \Gamma$, προκύπτει ότι

${\rm A}{\Gamma }^2={\rm A}{\Delta }^2+\Delta {\Gamma }^2\iff {\rm A}{\Gamma }^2={\alpha }^2+{\beta }^2$      (1).

Από το επίσης ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓΓ' έχουμε

${\rm A}{\Gamma }^{\prime 2}={\rm A}{\Gamma }^2+\Gamma {\Gamma }^{\prime 2}\iff {\delta }^2={\rm A}{\Gamma }^2+{\gamma }^2$      (2)

Αντικαθιστώντας στη (2) το ${\rm A}{\Gamma }^2$ από την (1), έχουμε το ζητούμενο: 

${\delta }^2={\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2$.