Translate Whole Page to Read and Solve

Δευτέρα 22 Ιουλίου 2024

Κανόνες Λογισμού των Πιθανοτήτων

1. Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει:
P(AUB)=P(A)+P(B).
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Αν N(A)=κ και N(Β)=λ, τότε το ΑUΒ έχει κ+λ στοιχεία, γιατί αλλιώς τα Α και Β δε θα ήταν ασυμβίβαστα. 
Δηλαδή, έχουμε 
N(AUΒ)=κ+λ=N(A)+N(Β).
Επομένως:
P(AB) = N(AB)N(Ω)
= N(Α)+Ν(Β)Ν(Ω)
= Ν(Α)Ν(Ω)+Ν(Β)Ν(Ω)
= P(Α)+P(B).
Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως απλός προσθετικός νόμος (simply additive law) και ισχύει και για περισσότερα από δύο ενδεχόμενα. Έτσι, αν τα ενδεχόμενα Α,Β και Γ είναι ανά δύο ασυμβίβαστα θα έχουμε 
P(AUBUΓ)=P(A)+P(B)+P(Γ).
2. Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει:
P(A)=1P(A).
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Επειδή A∩A'=, δηλαδή τα Α και A' είναι ασυμβίβαστα, έχουμε διαδοχικά, σύμφωνα με τον απλό προσθετικό νόμο:
P(AUA)=P(A)+P(A)
P(Ω)=P(A)+P(A)
1=P(A)+P(A).
Οπότε 
 P(A)=1P(A).
3. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει:
P(AUB)=P(A)+P(B)P(AB).
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Για δυο ενδεχόμενα Α και Β έχουμε
N(AUB)=N(A)+N(B)N(AB),    (1)
αφού στο άθροισμα N(A)+N(B) το πλήθος των στοιχείων του AB υπολογίζεται δυο φορές.
Αν διαιρέσουμε τα μέλη της (1) με N(Ω) έχουμε:
N(AB)N(Ω) = Ν(Α)Ν(Ω)+Ν(Β)Ν(Ω)N(AB)N(Ω)
και επομένως
P(AUB)=P(A)+P(B)P(AB)
Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως προσθετικός νόμος (additive law).
4. Αν AB, τότε 
P(A)P(B).
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Επειδή AB έχουμε διαδοχικά:
N(A)N(B)
Ν(Α)Ν(Ω)Ν(Β)Ν(Ω)
P(A)P(B)
5. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει:
P(AB)=P(A)P(AB)
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Επειδή τα ενδεχόμενα AB και AB είναι ασυμβίβαστα και (AB)U(AB)=A, έχουμε:
P(A)=P(AB)+P(AB)
Άρα 
 P(AB)=P(A)P(AB).