Κανόνες Λογισμού των Πιθανοτήτων

1. Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα $Α$ και $Β$ ισχύει:

$P(AUB)=P(A)+P(B)$.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αν $N(A)=κ$ και $N(Β)=λ$, τότε το $ΑUΒ$ έχει $κ+λ$ στοιχεία, γιατί αλλιώς τα $Α$ και $Β$ δε θα ήταν ασυμβίβαστα. 

Δηλαδή, έχουμε 

$N(AUΒ)=κ+λ= N(A)+N(Β).$

Επομένως:

$P(A \cup B)$ = $\dfrac{N(A \cup B)}{N(Ω)}$

= $\dfrac{N(Α) + Ν(Β)}{Ν(Ω)}$

= $\dfrac{Ν(Α)}{Ν(Ω)} + \dfrac{Ν(Β)}{Ν(Ω)}$

= $P(Α) + P(B).$

Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως απλός προσθετικός νόμος (simply additive law) και ισχύει και για περισσότερα από δύο ενδεχόμενα. Έτσι, αν τα ενδεχόμενα $Α, Β$ και $Γ$ είναι ανά δύο ασυμβίβαστα θα έχουμε 

$P(AUBUΓ)=P(A)+P(B)+P(Γ).$

2. Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα $Α$ και $Α'$ ισχύει:

$P(A')=1 - P(A)$.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Επειδή A∩A'=, δηλαδή τα Α και A' είναι ασυμβίβαστα, έχουμε διαδοχικά, σύμφωνα με τον απλό προσθετικό νόμο:

$P(AUA')=P(A)+P(A')$

$P(Ω)=P(A)+P(A')$

$1=P(A)+P(A')$.

Οπότε 

 $P(A')=1-P(A)$.

3. Για δύο ενδεχόμενα $Α$ και $Β$ ενός δειγματικού χώρου $Ω$ ισχύει:

$P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)$.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Για δυο ενδεχόμενα $Α$ και $Β$ έχουμε

$N(AUB)=N(A)+N(B)-N(A∩B)$,    (1)

αφού στο άθροισμα $N(A)+N(B)$ το πλήθος των στοιχείων του $A∩B$ υπολογίζεται δυο φορές.

Αν διαιρέσουμε τα μέλη της (1) με $N(Ω)$ έχουμε:

$\dfrac{N(A \cup B)}{N(Ω)}$ = $\dfrac{Ν(Α)}{Ν(Ω)} + \dfrac{Ν(Β)}{Ν(Ω)} - \dfrac{N(A \cap B)}{N(Ω)}$

και επομένως

$P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)$

Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως προσθετικός νόμος (additive law).

4. Αν A$\subseteq$B, τότε 

$P(A)≤P(B)$.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Επειδή A$\subseteq$B έχουμε διαδοχικά:

$N(A)$ ≤ $N(B)$

$\dfrac{Ν(Α)}{Ν(Ω)}$ ≤ $\dfrac{Ν(Β)}{Ν(Ω)}$

$P(A)$ ≤ $P(B)$

5. Για δύο ενδεχόμενα $Α$ και $Β$ ενός δειγματικού χώρου $Ω$ ισχύει:

$P(A-B)=P(A)-P(A∩B)$

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Επειδή τα ενδεχόμενα $A-B$ και $A∩B$ είναι ασυμβίβαστα και $(A-B)U(A∩B)=A$, έχουμε:

$P(A)=P(A-B)+P(A∩B)$

Άρα 

 $P(A-B)=P(A)-P(A∩B)$.