Ανισότητα Young - Εξαιρετική άσκηση

Έστω μία συνάρτηση $f:[0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη στο $[0,+\mathrm{\infty })$ με

 $f(0)=0$ και $f{}^{\prime }(x)>0$ 

$\mathrm{\forall }x\in [0,+\mathrm{\infty })$. 

Να δείξετε ότι: 

${\displaystyle {\int }_0^{\alpha }f(x)dx+{\int }_0^{\beta }{f}^{-1}(x)dx\ge \alpha \beta }$

$\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in (0,+\mathrm{\infty })$.

Πηγή: mathematica