Άθροισμα m+n

Έστω $x$, $y$ και $z$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν

$$\begin{array}{rl}\sqrt{2x-xy}+\sqrt{2y-xy}& =1\\ \sqrt{2y-yz}+\sqrt{2z-yz}& =\sqrt{2}\\ \sqrt{2z-zx\phantom{y}}+\sqrt{2x-zx\phantom{y}}& =\sqrt{3}.\end{array}$$

Αν η τιμή της παράστασης 

$[(1-x)(1-y)(1-z){]}^2$ 

μπορεί να γραφεί ως ${\displaystyle \frac{m}{n}}$, όπου $m$ και $n$ ακέραιοι θετικοί αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους, να υπολογιστεί το άθροισμα $m+n$.

AIME 2022