Άθροισμα $m+n$

Έστω $x, y$ και $z$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν

$$\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 64 \\ y^2 + yz + z^2 = 49 \\ z^2 + zx + x^2 = 57 \end{cases}$$

Αν η ρίζα $\sqrt[3]{xyz}$ μπορεί να εκφραστεί ως $\dfrac{m}{n}$, όπου $m$ και $n$ είναι πρώτοι αριθμοί μεταξύ τους, να υπολογιστεί το άθροισμα $m + n$.

Berkeley Math Tournament 2020