Ολυμπιακός προσανατολισμός

Έστω συνεχής συνάρτηση $f:[0,1]\to(0,\infty)$ και έστω 

$A=\int_0^1 f(t)\mathrm{d}t.$ 

a) Θεωρούμε τη συνάρτηση $F:[0,1]\to[0,A]$ με 

\[F(x)=\int_0^xf(t)\mathrm{d}t.\]

Να αποδειχθεί ότι η $F(x)$ έχει αντίστροφη συνάρτηση, η οποία είναι παραγωγίσιμη. 

b) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει μία μοναδική συνάρτηση $g:[0,1]\to[0,1]$ για την οποία ισχύει 

\[\int_0^xf(t)\mathrm{d}t=\int_{g(x)}^1f(t)\mathrm{d}t\]

για όλα τα $x\in [0,1].$ 

c) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει $c\in[0,1]$ για το οποία ισχύει 

\[\lim_{x\to c}\frac{g(x)-c}{x-c}=-1,\]

όπου $g$ η συνάρτηση του ερωτήματος b).

District Olympiad 2024, Grade 12