Ολυμπιακός προσανατολισμός

Έστω συνεχής συνάρτηση $f:[0,1]\to (0,\mathrm{\infty })$ και έστω 

$A={\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t.$ 

a) Θεωρούμε τη συνάρτηση $F:[0,1]\to [0,A]$ με 

$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t.$$

Να αποδειχθεί ότι η $F(x)$ έχει αντίστροφη συνάρτηση, η οποία είναι παραγωγίσιμη. 

b) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει μία μοναδική συνάρτηση $g:[0,1]\to [0,1]$ για την οποία ισχύει 

$${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t={\int }_{g(x)}^{1}f(t)\mathrm{d}t$$

για όλα τα $x\in [0,1].$ 

c) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει $c\in [0,1]$ για το οποία ισχύει 

$$\underset{x\to c}{lim}\frac{g(x)-c}{x-c}=-1,$$

όπου $g$ η συνάρτηση του ερωτήματος b).

District Olympiad 2024, Grade 12