Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [54]

Έστω πραγματικός αριθμός $a$ και συνάρτηση $f(x)$ με συνεχή παράγωγο στο $\mathbb{R}$ τέτοια ώστε $f^{\prime }(x)\ge a$ για όλα τα $x\in \mathbb{R}$. 

Αν  

$0<{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x)\sin x\mathrm{d}x<a.$ 

να αποδειχθεί ότι στο διάστημα $[0,\frac{\pi }{2}]$, η εξίσωση $f(x)=0$ έχει μοναδική λύση.