Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [54]

Έστω πραγματικός αριθμός $a$ και συνάρτηση $f(x)$ με συνεχή παράγωγο στο $\mathbb{R}$ τέτοια ώστε $f^{\prime}(x) \geq a$ για όλα τα $x \in \mathbb{R}$. 

Αν  

$0 < \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \sin x {\rm d}x < a.$ 

να αποδειχθεί ότι στο διάστημα $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, η εξίσωση $f(x)=0$ έχει μοναδική λύση.