Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 481o

 Του Ηλία Ζωβοΐλη   

Δίνεται συνάρτηση $f:(0,+\mathrm{\infty })\to R$ με τύπο:

$f(\chi )=\chi —\alpha ln\chi$ 

όπου $\alpha >1$, για την οποία γνωρίζετε ότι 

Δ1.α) Να δείξετε ότι $\alpha =e$ και στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f$.

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι κυρτή.

Δ2.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(\chi )={\displaystyle \frac{1}{2}}$ έχει ακριβώς δυο ρίζες ${\chi }_1,{\chi }_2$, με ${\chi }_1<e<{\chi }_2<2e$. 

Στα παρακάτω ερωτήματα να θεωρήσετε ότι ${\chi }_1,{\chi }_2$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης $(1)$. 'Εστω συνάρτηση $g:(0,2e)\to R$, με τύπο 

$g(\chi )=f(\chi )-f(2e-\chi )$.

Δ3. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $g$ είναι γνησίως φθίνουσα.

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ${\chi }_0\in ({\chi }_1,{\chi }_2)$ τέτοιο, ώστε 

$f(2e-{\chi }_0)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Δ4.Να αποδείξετε ότι

$g({\chi }_0)>f^{\prime }({\chi }_1)({\chi }_0—{\chi }_1)$

όπου ${\chi }_0$ είναι αυτό που αναφέρεται στο Δ3.β).

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα