Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 481o

 Του Ηλία Ζωβοΐλη   

Δίνεται συνάρτηση $f: (0, +\infty) \rightarrow R$ με τύπο:

$f (χ) = χ — αlnχ$ 

όπου $α >1$, για την οποία γνωρίζετε ότι 

Δ1.α) Να δείξετε ότι $α = e$ και στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f$.

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι κυρτή.

Δ2.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(χ) = \dfrac{1}{2}$ έχει ακριβώς δυο ρίζες $χ_1, χ_2$, με $χ_1 < e < χ_2 < 2e$. 

Στα παρακάτω ερωτήματα να θεωρήσετε ότι $χ_1, χ_2$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης $(1)$. 'Εστω συνάρτηση $g: (0, 2e)\rightarrow  R$, με τύπο 

$g(χ) =f (χ) - f (2e -χ)$.

Δ3. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $g$ είναι γνησίως φθίνουσα.

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει $χ_0 \in (χ_1, χ_2)$ τέτοιο, ώστε 

$f (2e -χ_0) = \dfrac{1}{2}$

Δ4.Να αποδείξετε ότι

$g (χ_0) > f' (χ_1)(χ_0 — χ_1)$

όπου $χ_0$ είναι αυτό που αναφέρεται στο Δ3.β).

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα