Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 475o

 Του Ηλία Ζωβοΐλη   

Δίνεται συνάρτηση $f :R \rightarrow R$ με τύπο 

$f (χ) = αχ + e^{1-χ}$ 

όπου $α\in  R$, για την οποία γνωρίζετε ότι ισχύει: 

$f (χ) \geq f (α)$

για κάθε $χ \in R$.

Δ1.Να αποδείξετε ότι $α = 1$.

Δ2.α) Να αποδείξετε ότι η $f $ είναι κυρτή.

β) Να βρείτε την εφαπτομένη της $C_f$ που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 

'Εστω $G$ μία αρχική της $f^2$ στο $Β$, με $G (1) = 4$. Να αποδείξετε ότι:

Δ3. Η εξίσωση $G (χ) = 0$ έχει μοναδική ρίζα $ρ$‚ η οποία ανήκει στο διάστημα $(0,1)$.

Δ4. Υπάρχει μοναδικό $χ_0 \in (ρ,1)$ τέτοιο, ώστε 

όπου $ρ$ είναι η ρίζα της εξίσωσης $G (χ) = 0$.

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα