Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 475o

 Του Ηλία Ζωβοΐλη   

Δίνεται συνάρτηση $f:R\to R$ με τύπο 

$f(\chi )=\alpha \chi +e^{1-\chi }$ 

όπου $\alpha \in R$, για την οποία γνωρίζετε ότι ισχύει: 

$f(\chi )\ge f(\alpha )$

για κάθε $\chi \in R$.

Δ1.Να αποδείξετε ότι $\alpha =1$.

Δ2.α) Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι κυρτή.

β) Να βρείτε την εφαπτομένη της $C_f$ που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 

'Εστω $G$ μία αρχική της $f^2$ στο ${\rm B}$, με $G(1)=4$. Να αποδείξετε ότι:

Δ3. Η εξίσωση $G(\chi )=0$ έχει μοναδική ρίζα $\rho$‚ η οποία ανήκει στο διάστημα $(0,1)$.

Δ4. Υπάρχει μοναδικό ${\chi }_0\in (\rho ,1)$ τέτοιο, ώστε 

όπου $\rho$ είναι η ρίζα της εξίσωσης $G(\chi )=0$.

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα