Θέμα Διδακτικής από τον διαγωνισμό του ΑΣΕΠ Μαθηματικών 2008

Ερώτηση

Έστω ότι διδάσκετε Μαθηματικά κατεύθυνσης στη Γ΄ Λυκείου. Μετά την απόδειξη της πρότασης «κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $x_0$ είναι συνεχής στο $x_0$» γίνεται στην τάξη ο παρακάτω διάλογος:

Καθηγητής: Ισχύει το αντίστροφο; Δηλαδή, αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο, είναι και παραγωγίσιμη σε αυτό το σημείο;

Μαθητής Α: Όχι.

Καθηγητής: Γιατί;

Μαθητής Α: Γιατί, αν η συνάρτηση είναι συνεχής, το όριο της $f (x)$  όταν το $x$ τείνει στο $x_0$ είναι $f (x_0)$ και άρα το όριο 

είναι απροσδιόριστη μορφή. Επομένως δεν υπάρχει αυτό το όριο.

Καθηγητής (απευθυνόμενος στην υπόλοιπη τάξη): Συμφωνείτε;

Μαθητής Β: Επειδή το όριο 

είναι απροσδιόριστη μορφή, για άλλες συναρτήσεις μπορεί να υπάρχει και για άλλες όχι. Γι’ αυτό μια συνεχής συνάρτηση δεν είναι πάντοτε παραγωγίσιμη.

Μετά τη συζήτηση των μαθητών με τον καθηγητή η τάξη διχάστηκε. Άλλοι μαθητές συμφώνησαν με το μαθητή Α και άλλοι με το μαθητή Β.

α) Εντοπίστε τις δύο πιο σημαντικές παρανοήσεις που φαίνεται να έχουν δημιουργηθεί στην τάξη και αναφέρετε πώς αναδύονται αυτές από το διάλογο.

β) Πώς θα αντιμετωπίζατε διδακτικά το πρόβλημα που δημιουργήθηκε ώστε να βοηθήσετε τους μαθητές να ξεπεράσουν τις παρανοήσεις τους;