Επίλυση εξίσωσης \( ax^2 + bx + c = 0 \), με $a\neq 0$

Έχουμε την εξίσωση: 

\( ax^2 + bx + c = 0 \)

Πρώτα, διαιρούμε όλη την εξίσωση με τον συντελεστή "a", για να έχει ο όρος \( x^2 \) συντελεστή $1$:

\( x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0 \)

Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της συμπλήρωσης τετραγώνου για να σχηματίσουμε ταυτότητα στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης. 

Προσθέτουμε και αφαιρούμε τον όρο \( \dfrac{b}{2a} \) :

\( x^2 + \dfrac{b}{a}x + \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{c}{a} = 0 \)

Αυτό γράφεται ως:

\( (x + \dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2} = 0 \)

Πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με \( 4a^2 \):

\( 4a^2(x + \dfrac{b}{2a})^2 - (b^2 - 4ac) = 0 \)

Τώρα, αφαιρούμε το \( b^2 - 4ac \) από τα δύο μέρη:

\( 4a^2(x + \dfrac{b}{2a})^2 = b^2 - 4ac \)

Και διαιρούμε με \( 4a^2 \):

\( (x + \dfrac{b}{2a})^2 = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2} \)

Λαμβάνοντας την τετραγωνική ρίζα έχουμε :

\( x + \dfrac{b}{2a} = \pm\sqrt{\dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \)

Αφαιρούμε το \( \dfrac{b}{2a} \):

\( x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

Aυτός είναι ο τύπος των ριζών της εξίσωσης δευτέρου βαθμού.