Επίλυση εξίσωσης ax2+bx+c=0, με a≠0

Έχουμε την εξίσωση: 

$a{x}^2+bx+c=0$

Πρώτα, διαιρούμε όλη την εξίσωση με τον συντελεστή "a", για να έχει ο όρος $x^2$ συντελεστή $1$:

$x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}}x+{\displaystyle \frac{c}{a}}=0$

Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της συμπλήρωσης τετραγώνου για να σχηματίσουμε ταυτότητα στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης. 

Προσθέτουμε και αφαιρούμε τον όρο ${\displaystyle \frac{b}{2a}}$ :

$x^2+{\displaystyle \frac{b}{a}}x+{\left({\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{c}{a}}=0$

Αυτό γράφεται ως:

$(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}{)}^2-{\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a^2}}=0$

Πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με $4a^2$:

$4a^2(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}{)}^2-(b^2-4ac)=0$

Τώρα, αφαιρούμε το $b^2-4ac$ από τα δύο μέρη:

$4a^2(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}{)}^2=b^2-4ac$

Και διαιρούμε με $4a^2$:

$(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}{)}^2={\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

Λαμβάνοντας την τετραγωνική ρίζα έχουμε :

$x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a^2}}}$

Αφαιρούμε το ${\displaystyle \frac{b}{2a}}$:

$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

Aυτός είναι ο τύπος των ριζών της εξίσωσης δευτέρου βαθμού.