Παγκύπριες εξετάσεις για πρόσληψη καθηγητών στην δημόσια εκπαίδευση (2011) - ΘΕΜΑ 3Β

∆ίνεται συνάρτηση $f:R\to (0,+\mathrm{\infty })$ με συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία ισχύουν:

$f^{\prime }(2)=0,f(0)=1$

και 

 ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^2\chi f^{″}(\chi )d\chi +{\displaystyle \frac{3}{2}}{\int }_0^2{f}^{\prime }(\chi )d\chi =3$ 

α) Να δείξετε ότι:

$f(2)=4$.

β) Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση $u=f(\chi )$, όπου $f$ η πιο πάνω συνάρτηση, ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:

${\int }_0^2{\displaystyle \frac{f^{\prime }(\chi )}{f^2(\chi )+5f(\chi )+6}}dx$.

Για να δείτε όλα τα θέματα κάντε κλικ στην παρακάτω εικόνα: