Παγκύπριες εξετάσεις για πρόσληψη καθηγητών στην δημόσια εκπαίδευση (2011) - ΘΕΜΑ 3Β

∆ίνεται συνάρτηση $f : R \rightarrow (0,+ \infty)$ με συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία ισχύουν:

$f' (2)=0, f(0)=1$

και 

 $\dfrac{1}{2} \int_0^2 χf''(χ)dχ+ \dfrac{3}{2} \int_0^2 f'(χ)dχ =3$ 

α) Να δείξετε ότι:

$f(2)=4$.

β) Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση $u =f(χ)$, όπου $f$ η πιο πάνω συνάρτηση, ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:

$\int_0^2 \dfrac{ f'(χ) }{f^2(χ)+5f(χ)+6} dx$.

Για να δείτε όλα τα θέματα κάντε κλικ στην παρακάτω εικόνα: