Έστω
ένας θετικός ακέραιος τέτοιος ώστε οι αριθμοί
και
να είναι τέλεια τετράγωνα. Δείξτε ότι ο αριθμός
είναι σύνθετος.
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d2b2d9fec288403faf6e85ebf2c58972.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/4bac113ead86453f9767c25ff43d09b9.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/8937b0ee92b7a5f9d13b1d2bbf1f9dda.png)
ΘΕΜΑ 2ο
Στην περιφέρεια ενός κύκλου τοποθετούμε τους αριθμούς
Έστω
το μεγαλύτερο άθροισμα τριών διαδοχικών αριθμών.
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ce2b4390533c08d2dde52f23c9319e36.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png)
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του ![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a5cb5c38e6f2053caa17c97bab5b9988.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a5cb5c38e6f2053caa17c97bab5b9988.png)
Οι κύκλοι
κέντρου
και
κέντρου
εφάπτονται εξωτερικά στο
Ένας τρίτος κύκλος, ο
που περιέχει στο εσωτερικό του τους
και
εφάπτεται στον
και στον
στα σημεία
και
αντίστοιχα. Η ευθεία
προεκτεινόμενη τέμνει τον
στο
.
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/7ed10ecb2793aa916951ad019aef3d77.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/6fac6ad3afc204d6352d8254be64f372.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/76892db7d463036e2dcbe9f08e70da02.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/0fd6372014c9baf8687b9f57dd1bba59.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b8d965e1f6a55f26576b3945ea4250f8.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/743426ad85c40192c6eb3a1e87b34d67.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/53794d72cb7f4dc872d57bd159298b3c.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/76892db7d463036e2dcbe9f08e70da02.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/53794d72cb7f4dc872d57bd159298b3c.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/0660a58af05b56e95b111746b3ef7ba2.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b89e5a133abfb103cd888ed2cad06dc5.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ed16cb7f6f3ef62f627b73743ec510d7.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f9144bcea94b052fdaacf348099eaa8c.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png)
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες
και
τέμνονται πάνω στον
.
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/dc136726281ff0f8e7c14d6a3e98d0a6.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/e801df902f26306cfcb7a915d34e3ab8.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/53794d72cb7f4dc872d57bd159298b3c.png)
ΘΕΜΑ 4ο
α) Οι πραγματικοί αριθμοί
ικανοποιούν τις σχέσεις ![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/4a629deccd46fcf07ac0ebbfd499717d.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a44c56c8177e32d3613988f4dba7962e.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/4a629deccd46fcf07ac0ebbfd499717d.png)
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης ![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f35118cd6a15d6404f23c796e5fb7cb7.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f35118cd6a15d6404f23c796e5fb7cb7.png)
β) Οι πραγματικοί αριθμοί
ικανοποιούν τις σχέσεις
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/6b2c3772e956bd7d191e4e9417c49700.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/1df5afafb35bdebad824e9a1ae228764.png)
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης ![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/09ca2ea1212984a2f4769edfd1aa62cd.png)
![](https://www.mathematica.gr/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/09ca2ea1212984a2f4769edfd1aa62cd.png)
Μπορούμε να γενικεύσουμε;
Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης
Πηγή: mathematica