Ένα Μάθημα Παραγοντοποίησης: Ο Έξυπνος Τρόπος να Παραγοντοποιήσεις το 8051

Η παραγοντοποίηση αριθμών είναι μια από τις πιο ενδιαφέρουσες προκλήσεις των μαθηματικών. Μερικές φορές, μια έξυπνη προσέγγιση μπορεί να μας εξοικονομήσει χρόνο και κόπο. 

Ένα τέτοιο παράδειγμα μας προσφέρει ο διακεκριμένος αριθμοθεωρητικός Carl Pomerance, ο οποίος σε ένα άρθρο του το $1996$ μοιράστηκε μια εμπειρία του από μαθηματικό διαγωνισμό.

Η Ιστορία του Pomerance

Όταν ήταν μαθητής γυμνασίου τη δεκαετία του $1960$, ο Pomerance συμμετείχε σε έναν μαθηματικό διαγωνισμό όπου του ζητήθηκε να παραγοντοποιήσει τον αριθμό $8051$ μέσα σε $54 λεπτά. Εκείνη την εποχή δεν υπήρχαν αριθμομηχανές τσέπης, οπότε η δοκιμαστική διαίρεση μέχρι την τετραγωνική ρίζα του αριθμού (~90) φαινόταν η πιο προφανής μέθοδος. Ωστόσο, ο Pomerance σκέφτηκε ότι ένας διαγωνισμός δεν θα έδινε ένα τόσο δύσκολο πρόβλημα χωρίς να υπάρχει κάποιος έξυπνος τρόπος λύσης.

Αρχικά, σπατάλησε χρόνο προσπαθώντας να βρει μια στρατηγική λύση και, όταν τελικά κατέφυγε στην κλασική δοκιμαστική διαίρεση, δεν πρόλαβε να ολοκληρώσει την παραγοντοποίηση.

Η Έξυπνη Προσέγγιση: Διαφορά Τετραγώνων

Το κόλπο που θα έπρεπε να είχε χρησιμοποιήσει είναι η διαφορά τετραγώνων: 

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$ Ο αριθμός $8051$ μπορεί να γραφτεί ως: $$8051=8100-49={90}^2-7^2$$ Επομένως, με βάση τον τύπο της διαφοράς τετραγώνων: $$8051=(90-7)(90+7)=83\times 97$$ Έτσι, αντί να δοκιμάζουμε συστηματικά διάφορους αριθμούς, μπορούμε να αναζητούμε τρόπους να εκφράσουμε τον αριθμό ως διαφορά τετραγώνων, που πολλές φορές οδηγεί σε γρήγορη παραγοντοποίηση!

Δοκιμάστε το μόνοι σας!

Δοκιμάστε να παραγοντοποιήσετε τον αριθμό $2023$ με την ίδια τεχνική! Μπορείτε να το κάνετε γρήγορα;