Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 41ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1o

Έστω μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε . Να απλοποιήσετε την παράσταση

ΘΕΜΑ 2o

Ο Βασίλης έγραψε στη σειρά τους αριθμούς με όλους τους δυνατούς τρόπους. Σε καθέναν από αυτούς τους τρόπους κύκλωσε τους αριθμούς που ήταν ίσοι με τον αύξοντα αριθμό της θέσης τους και υπολόγισε το άθροισμά τους (αν δεν υπήρχε κανένας τέτοιος αριθμός θεώρησε ότι το άθροισμα ήταν 0).

Για παράδειγμα, για τη μετάθεση κύκλωσε τους αριθμούς και , και υπολόγισε το άθροισμά τους, που είναι ίσο με 5. Ποιος είναι ο μέσος όρος αυτών των αριθμών;

ΘΕΜΑ 3o

Έστω θετικός ακέραιος. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι , ώστε

.

ΘΕΜΑ 4o

Θεωρούμε τετράπλευρο τέτοιο ώστε . Κατασκευάζουμε ισόπλευρα τρίγωνα με τα σημεία να βρίσκονται στο ημιεπίπεδο που ορίζουν οι αντίστοιχα, που δεν ανήκει η Να αποδείξετε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης   
Πηγή: mathematica